Evaluar la fuerza neta que el hemisferio sur de una esfera uniformemente cargada ejerce sobre el hemisferio norte

Question

Evaluar la fuerza neta que el hemisferio sur de una esfera uniformemente cargada ejerce sobre el hemisferio norte

VG

Encuentre la fuerza neta que el hemisferio sur de una esfera uniformemente cargada ejerce sobre el hemisferio norte.

Soy perfectamente consciente de que esta pregunta se ha hecho muchas veces ( aquí ), ¡pero me sorprende que no haya podido encontrar una solución utilizando la integración tomando elementos!

Traté de tomar discos elementales y luego los integré para todo el hemisferio, pero mi respuesta no coincidía con la respuesta correcta.

Aquí está mi trabajo:

Se sabe que para un disco uniformemente cargado, con densidad de carga $\sigma$ , el campo eléctrico en un punto sobre su eje está dado por $E=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}(1-\cos \theta)$ , dónde $\theta$ es el ángulo entre el eje y la línea que une el punto con la circunferencia del disco.

Y $\sigma= \dfrac{\mathrm{d}q}{\pi R^2 \sin^2 \theta}= \rho R ~\mathrm{d}\theta$ para un disco elemental, por lo que el campo total se debe dar integrando la expresión de $\theta=0$ a $\dfrac{\pi}2$ , entonces

mi = \int d mi = \frac{ρ R}{2 ϵ_{0}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - porque θ) d θ = \frac{ρ R}{2 ϵ_{0}} (\frac{π}{2} - 1)

$E=\int \mathrm{d}E= \dfrac{\rho R}{2 \epsilon_0} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos \theta) \mathrm{d} \theta \\ =\dfrac{\rho R}{2 \epsilon_0}\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)$

Desde $\rho=\dfrac{Q}{\frac{2}{3}\pi R^3}$ , obtenemos finalmente $E=\dfrac{3Q}{4\pi R^2 \epsilon_0}\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)$ y para la fuerza la multiplicaremos por $Q$ .

Lo cual es totalmente diferente de la respuesta correcta. Qué estoy haciendo mal ?

Triático

Su análisis encuentra la fuerza asumiendo que el hemisferio superior es una carga puntual en el origen, esta aproximación no es válida.

Respuestas (1)

Evaluar la fuerza neta que el hemisferio sur de una esfera uniformemente cargada ejerce sobre el hemisferio norte

Su análisis encuentra la fuerza asumiendo que el hemisferio superior es una carga puntual en el origen, esta aproximación no es válida.

VG · Answer 1

Entonces finalmente entiendo mi error como lo señaló @Triatticus de que asumí el hemisferio norte como una carga puntual, y eso no es correcto. Requiere calcular la fuerza usando integración y estoy presentando una solución que no requiere integración usando coordenadas polares como se hace en la publicación vinculada:

Procediendo tomando una capa gaussiana de radio $r$ , aplicamos la ley de Gauss como

| mi | 4 π r^{2} = \frac{ρ (\frac{4}{3} π r^{3})}{ϵ_{0}} ⟹ mi = \frac{ρ r}{3 ϵ_{0}}

$|E|4\pi r^2 = \dfrac{\rho\left(\dfrac{4}{3}\pi r^3\right)}{\epsilon_0} \implies E=\dfrac{\rho r}{3 \epsilon_0}$ Usaremos

ρ = \frac{Q}{\frac{4}{3} π R^{3}}

$\rho=\dfrac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ mas tarde.

Ahora, necesitamos la fuerza total aplicada sobre cada carga elemental $\mathrm dq$ debido a este campo. Está claro que la fuerza estaría en la dirección vertical hacia arriba pasando por el centro de la esfera debido a la simetría.

Fuerza aplicada sobre una carga elemental $\mathrm dq$ es dado por $\mathrm d \overrightarrow{F}=\overrightarrow{E} \mathrm d q$ y por tanto la fuerza total viene dada integrando esta expresión, es decir

\vec{F} = \int d \vec{F} = \int \vec{mi} d q = \frac{ρ}{3 ϵ_{0}} \int \vec{r} d q

$\overrightarrow{F}=\int \mathrm d \overrightarrow {F} =\int \overrightarrow E \mathrm dq=\dfrac{\rho}{3\epsilon_0}\int \overrightarrow{r} \mathrm d q$

Ahora, ¿qué significa la integral $\displaystyle \int \overrightarrow{r} \mathrm d q$ recordarnos? Recuerde que en mecánica, la posición del centro de masa de un cuerpo de masa $m$ es dado por $\dfrac{\displaystyle \int \overrightarrow{r} \mathrm d m}{\displaystyle \int \mathrm d m}$ , entonces, lo que podemos inferir de esto es que, usando una analogía similar, aplicamos toda esta fuerza en el centro de masa del hemisferio norte. Es un resultado estándar que el centro de masa de una esfera sólida está a la distancia de $\dfrac{3R}{8}$ desde el centro entonces usando $\displaystyle \int \overrightarrow{r} \mathrm d q=\dfrac{3QR}{16}$ , y sustituyendo el valor de $\rho$ en términos de $Q$ , obtenemos la fuerza neta como

F = \frac{3 q^{2}}{64 π ϵ_{0} R^{2}}

$\boxed{F=\dfrac{3Q^2}{64 \pi \epsilon_0 R^2}}$

Buen truco al final, un punto es que no estamos usando coordenadas polares sino coordenadas esféricas en macetas vinculadas.

Evaluar la fuerza neta que el hemisferio sur de una esfera uniformemente cargada ejerce sobre el hemisferio norte

VG

Triático

Respuestas (1)

VG

cita con la libertad

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"Encuentre la fuerza neta que el hemisferio sur de una esfera uniformemente cargada ejerce sobre el hemisferio norte"

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