Principio de incertidumbre en la teoría cuántica de campos

Hay algunas posibilidades de producir una declaración en QFT similar a la válida para QM. En este caso$X$y$P$debe ser reemplazado por los objetos análogos en QFT, el operador de campo y su momento conjugado. Considere un campo escalar cuántico$\phi$y el mismo tiempo CCR:

$$[\phi(t, \vec{x}), \pi(t, \vec{y})] = i\hbar \delta(\vec{x}-\vec{y}) I \:.$$ La versión rigurosa es: $$[\phi(t, f), \pi(t, g)] = i\hbar (f|g) I$$ dónde $f,g : \mathbb R^3 \to \mathbb R$son funciones de prueba de mancha espacial y $$(f|g)= \int _{\mathbb R^3} \overline{f(\vec{x})} g(\vec{x}) d^3x\:.$$ Con el mismo procedimiento que para el CCR estándar, obtendrá fácilmente $$\Delta \phi(t, f)_\Psi \:\Delta \pi(t, g)_\Psi \geq \frac{\hbar}{2} |(f|g)|$$ para cada estado de vector normalizado $\Psi$que pertenece al dominio de $\phi(t, f), \pi(t, g)$y sus potencias de segundo orden. En particular ves que si $f$y $g$tener apoyos disjuntos, $|(f|g)|=0$, de modo que $\Delta \phi(t, f)_\Psi \:\Delta \pi(t, g)_\Psi \geq 0$, de acuerdo con el hecho de que $\phi(t, f)$y $\pi(t, g)$viaje en ese caso...

La Teoría Cuántica de Campos se modela esencialmente sobre la teoría de la Mecánica Cuántica para un número finito de grados de libertad. Con los operadores de creación y aniquilación se puede definir el análogo de los operadores de posición y momento$q$y$p$como los cierres de

$$q_0(x) = \frac1{\sqrt2}[a(x) - a(x)^*],\qquad p_0(x) = \frac i{\sqrt2}[a(x)+a(x)^*]$$ respectivamente. Las relaciones de Heisenberg son entonces $$[q(x),p(y)] = i (x,y)I,$$ para cualquier par de vectores$x,y$en el espacio de Hilbert de una sola partícula.

Las mismas relaciones provienen directamente de los campos canónicos.$\phi$y$\pi$, que satisfacen las relaciones de Heisenberg en un momento determinado, digamos$t=0$. Eligiendo una base ortonormal$\{e_n\}$del espacio de Hilbert de una sola partícula se puede establecer

$$q_k = \phi(e_k),\qquad p_k=\pi(e_k),$$ De dónde $$[q_i,q_k]=[p_i,p_k] = 0,\qquad [q_i,p_k] = i\delta_{ik}I.$$

Como las relaciones de incertidumbre derivan directamente de las relaciones de Heisenberg, se las tiene para los grados de libertad de la teoría, pero no existe vínculo entre ellas y las coordenadas espacio-temporales.