¿Es Zitterbewegung un artefacto de la teoría de partículas individuales?

El Zitterbewegung es más una reliquia de los primeros días de la ecuación de Dirac. No existe en los operadores estándar de posición, velocidad y aceleración del campo de partículas individuales, solo en versiones derivadas alternativas. Estas versiones alternativas se desarrollaron porque la gente pensó que los operadores estándar estaban equivocados. De hecho, no entendían los operadores estándar. El método estándar está usando:

$\frac{\partial {\cal \tilde{O}}}{dt} ~=~ \frac{i}{\hbar}\!\!\left[~\tilde{H},\tilde{O}~\right]$

Es fácil ver de dónde proviene el malentendido en la representación quiral moderna. Demostraremos que los operadores estándar son correctos. Si definimos una posición, una velocidad y un operador de aceleración para el campo de Dirac, entonces la posición (promediada), la velocidad y la aceleración vienen dadas por:

Operadores de Posición, Velocidad y Aceleración aplicados en el campo de Dirac:

$\vec{x}_{avg} ~=~ \frac{1}{2mc}\int dx^3 ~~ \psi^* \vec{X}~\psi ~~~~~~~~~ (\vec{X}: \mbox{position operator})$

$\vec{v}_{avg} ~=~ \frac{1}{2mc}\int dx^3 ~~ \psi^* \vec{V}~\psi \,~~~~~~~~~ (\vec{V}: \mbox{velocity operator})$

$\vec{a}_{avg} ~=~ \frac{1}{2mc}\int dx^3 ~~ \psi^* \vec{A}~\psi \,~~~~~~~~~ (\vec{A}: \mbox{acceleration operator})$

Operador de velocidad

Ahora$\vec{X}$es simplemente la posición$\vec{x}$de cada punto de la función de onda. El operador de velocidad se puede derivar conmutando con el hamiltoniano.

$\tilde{V}^i\psi\ =\ \frac{i}{\hbar}\left[~\tilde{H},\tilde{X}^i~\right]\psi\ =\ c \left( \begin{array}{cc} -\sigma^i & 0 \\ 0 & \sigma^i \end{array} \right)\psi$

Este operador de velocidad es, de hecho, totalmente correcto, pero se pensó que era erróneo en los primeros días porque la gente lo malinterpretó como que significaba que el electrón solo puede moverse con$\pm\,c$, y por lo tanto debe estar mal, pensaron.

Lo que en realidad esperaban era algo así como el$\vec{v}=\vec{p}/m$como entraron en teorías no relativistas, pero encontraron algo que solo contenía$\pm\,c$. Sin embargo, si evaluamos la expresión para$\vec{v}_{avg}$entonces obtenemos.

$\vec{v}_{avg} ~=~ \frac{c}{2mc}\int dx^3 ~~ \psi^* \left( \begin{array}{cc} -\sigma^i & 0 \\ 0 & \sigma^i \end{array} \right)\psi ~~=~~ \frac{c}{2mc}\int dx^3 ~~ \bar{\psi} \gamma^i \psi ~~=~~ \frac{c}{2mc}\int dx^3 ~ j^i$

Esta es una integral sobre la densidad de corriente, o el momento con las unidades apropiadas. Ahora el impulso$\vec{p}$es un factor$\gamma$mayor que la velocidad$\vec{v}$pero la integral sobre el campo contraído de Lorentz compensa esto, ¡así que terminamos con la velocidad de la partícula requerida! El operador de velocidad está perfectamente bien.

El otro gran malentendido fue que las componentes x, y y z del operador de velocidad no conmutan mientras lo hacen en la teoría no relativista y, por lo tanto, el operador debe estar equivocado, pensaron. Todavía puede encontrar esto citado en muchos libros de texto.

Pero como puede ver, la expresión deriva la velocidad del impulso y, como sabemos, los componentes del impulso (los componentes de impulso) no deberían conmutar. De hecho, deberían conmutar como en el operador de velocidad. Una vez más, el operador se comporta exactamente de la manera correcta y no muestra ningún zumbido.

Operador de aceleración

También manejaremos brevemente el operador de aceleración estándar y mostraremos que no hay zitterbewung y que el resultado se transforma de la manera correcta bajo la transformada de Lorentz. En realidad se puede demostrar que se transforma como la Fuerza de Lorentz.

$\psi^*\tilde{A}^i\psi ~~=~~ \frac{i}{m}\frac{d\vec{p}}{dt} ~~\mbox{transforms like:}~~ \frac{iq}{m}\left(\vec{v}\times\vec{B} ~+~ \vec{E}\right)$

Porque$\psi^*\tilde{A}^i\psi$da lugar a dos términos que se transforman como la magnetización y la polarización del electrón. La construcción que por lo tanto se transforma como la fuerza de Lorentz es así en realidad.

$\psi^*\tilde{A}^i\psi ~~\mbox{transforms like:}~~ \frac{iq}{m}\left(-\vec{v}\times\mu_o\vec{M} ~+~ \frac{1}{\epsilon_o}\vec{P}\right)$

si notas que$\vec{v}\times\vec{M}~\propto~\vec{p}\times\vec{j}_A$entonces puede reconocer los dos términos en el operador de aceleración estándar que es.

$\psi^*\tilde{A}^i\psi ~~=~~ c~\bar{\psi}\left[\,\gamma^i\gamma^5\times(\partial_i-i\frac{e}{\hbar}\!A_i) ~\right]\psi~+~ \frac{imc^3}{\hbar}~\bar{\psi}\gamma^0\gamma^i\psi$

La aceleración es cero en una onda plana en ausencia de un campo B o E. En este caso, el campo de electrones tiene sus propios valores M y P inherentes y los dos términos se anulan entre sí. Si los valores inherentes de M y P cambian debido a los campos B y E externos (por adición), entonces el electrón se acelera.

representación quiral

Ahora, ¿qué pasa con la c en el operador de velocidad? Este comportamiento del propagador es fácil de entender en la representación quiral moderna y el propagador del campo. En principio todos los campos son sin masa y se propagan con c. Sin embargo, debido al acoplamiento, los propagadores pueden tener cualquier velocidad entre +c y -c. El electrón tiene dos de estos componentes sin masa.

$\psi~~=~~\left(\begin{array}{c}\psi_L\\ \psi_R \end{array}\right)$

Entonces, estos dos componentes se mueven a la velocidad de la luz. En el marco de reposo, se mueven exactamente opuestos entre sí y la velocidad combinada es cero. La gran diferencia con el zitterbewegung es que ambos ocurren al mismo tiempo. No hay una velocidad neta alterna general.

Ahora la evolución del tiempo en el restframe es.

$e^{-Ht}\left(\begin{array}{c}\psi_L\\ \psi_R \end{array}\right) ~~=~~ \left(\begin{array}{c}\psi_L\cos(mt)-i\psi_R\sin(mt)\\ \psi_R\cos(mt)-i\psi_L\sin(mt) \end{array}\right)$

Entonces, ves el$\psi_L$y$\psi_R$alternando pero hay un zitterbewegung de$\psi$o los componentes individuales$\psi_L$y$\psi_R$? La respuesta es: NO para electrones y NO para positrones. Esto se debe a que estas son exactamente las únicas dos soluciones de la ecuación de Dirac que no muestran un zitterbewegung. La razón de esto es.

electrón en reposo:$\psi_L=+\psi_R$

positrón en reposo:$\psi_L=-\psi_R$

Los otros estados "exóticos" donde$\psi_L\neq\pm\psi_R$en reposo muestran un zitterbewegung, por ejemplo$\psi_L=i\psi_R$o$\psi_L=\sigma_z\psi_R$. Esta es en realidad la razón por la que estos estados no están permitidos. Irradiarían energía electromagnética con la frecuencia correspondiente a su masa.

Hans.

Ver esta cita y referencia relevantes; Dado que el antiguo interés en ZB ha sido reavivado recientemente por las investigaciones sobre espintrónica, grafeno y sistemas superconductores, etc., en este artículo presentamos una investigación de teoría cuántica de campos sobre ZB y obtenemos la conclusión de que , el ZB de un electrón surge de la influencia de pares virtuales electrón-positrón (o fluctuaciones de vacío) en el electrón. '' https://arxiv.org/ftp/quant-ph/papers/0612/0612090.pdf

ZBW no existe en la ecuación de Pauli, que describe una partícula no relativista con un medio de giro. Por lo tanto, el giro existe sin ZBW, contrario a la afirmación de Hestenes.

Ni ZBW es un artefacto de una teoría de función de onda de una sola partícula, porque ZBW continúa presente más allá de la teoría de una partícula. En la teoría de la función de onda, el ZBW se deriva del acoplamiento de las ramas de energía positiva y negativa. ZBW también existe en la teoría cuántica de campos, donde se reinterpreta como el efecto del acoplamiento de electrones y positrones.