Propagador de fermiones como derivado del propagador escalar

Question

Propagador de fermiones como derivado del propagador escalar

Física
fermiones
propagador
ecuación de dirac
teoría cuántica de campos

jamiebondi

He visto esta expresión en dos dimensiones del espacio-tiempo,

⟨ \bar{ψ} (X) ψ (0) ⟩ = γ^{m} \partial_{m} ⟨ ϕ (X) ϕ (0) ⟩

$\langle \bar{\psi}(x) \psi(0) \rangle = \gamma^\mu{\partial_\mu} \langle \phi(x) \phi(0) \rangle$

El LHS es el propagador de fermiones, y la expectativa en RHS es el propagador escalar. Para el caso bidimensional, el propagador escalar es (suponiendo que no tiene masa)

⟨ ϕ (X) ϕ (0) ⟩ = \int \frac{d^{2} pag}{4 π^{2}} \frac{1}{{pag}^{2}} {mi}^{- i pag X}

$\langle \phi(x) \phi(0) \rangle = \int \frac{d^2p}{4\pi^2} \frac{1}{p^2} e^{-ipx}$

Dos preguntas:

¿Por qué el propagador de fermiones es derivado del propagador escalar?
¿Cómo se definen las matrices gamma en dos dimensiones?

Respuestas (5)

Propagador de fermiones como derivado del propagador escalar

prahar · Answer 1

El escalar libre y el propagador de fermiones es

{GRAMO}_{ψ} (X, y) = \int \frac{d^{d} pag}{(2 π)^{d}} \frac{- i (γ^{m} {pag}_{m} + metro)}{{pag}^{2} + {metro}^{2} - i ϵ} {mi}^{- i pag \cdot (X - y)}

$G_\psi(x,y) = \int \frac{d^dp}{(2\pi)^d} \frac{-i(\gamma^\mu p_\mu + m)}{ p^2 + m^2 - i \epsilon} e^{- i p \cdot ( x - y ) }$ El propagador escalar es

{GRAMO}_{ϕ} (X, y) = \int \frac{d^{d} pag}{(2 π)^{d}} \frac{- i}{{pag}^{2} + {metro}^{2} - i ϵ} {mi}^{- i pag \cdot (X - y)}

$G_\phi(x,y) = \int \frac{d^dp}{(2\pi)^d} \frac{-i}{ p^2 + m^2 - i \epsilon} e^{- i p \cdot ( x - y ) }$ Claramente,

{GRAMO}_{ψ} (X, y) = (i γ^{m} \partial_{m} - metro) {GRAMO}_{ϕ} (X, y) .

$G_\psi(x,y) = ( i \gamma^\mu \partial_\mu -m)G_\phi(x,y)~.$

PD: en cualquier dimensión, las matrices gamma se definen para satisfacer $\{ \gamma^\mu , \gamma^\nu \} = - 2 \eta^{\mu\nu}$ .

PPS: estoy usando la firma métrica $(-,+,+,+,\cdots)$ en esta respuesta.

Será un placer ponerte más de 10k repeticiones por esta clara explicación.
@Rococo - jaja! Muchas gracias. De hecho, estaba esperando esa repetición adicional de 1.
¿Puedo suponer que se mantienen las mismas identidades de seguimiento en 2D?
No. Algunas (no todas) las identidades de rastreo dependen de la dimensión.

benciano · Answer 2

\subsection{Spenor feynman Propagator} considere el campo del operador $b\psi$ para crear una partícula virtual en el evento y, y $\psi$ para destruir esa partícula partícula virtual incluso en x. El propagador de espinor incorpora estos dos operadores de campo. El propagador realmente corresponde a una especie de función de densidad de probabilidad en y y x. Representa la densidad de probabilidad de que la partícula de Dirac aparezca en y y desaparezca en x. mostramos eso en breve:\ para el giro virtual $1/2$ propagador de partículas feynman were\

i S_{F} (X - y) = ⟨ 0 | T {ψ (X) b ψ (y)} | 0 ⟩ = ⟨ 0 | {ψ (X) b ψ (y)} | 0 ⟩

$\begin{equation} iS_{F}(x-y) = \langle 0 \vert T\lbrace \psi(x)b\psi(y)\rbrace \vert 0 \rangle = \langle 0 \vert \lbrace \psi(x)b\psi(y)\rbrace \vert 0 \rangle \end{equation}$ si

t_{y} < t_{x}

$t_{y} < t_{x}$ (partícula)

= ⟨ 0 | [ψ^{+} (X), b ψ^{-} (y)]_{+} | 0 ⟩

$\begin{equation} = \langle 0 \vert[\psi^{+}(x), b\psi^{-}(y) ]_{+}\vert 0 \rangle \end{equation}$

= [ψ^{+} (X), b ψ^{-} (y)]_{+} ⟨ 0 | | 0 ⟩ = [ψ^{+} (X), b ψ^{-} (y)]_{+}

$\begin{equation} = [\psi^{+}(x), b\psi^{-}(y)]_{+}\langle 0 \vert \vert 0 \rangle = [ \psi^{+}(x), b\psi^{-}(y)]_{+} \end{equation}$

= i S_{α β}^{+} (X - y) = \frac{1}{2 (2 π)^{3}} \int (s yo pag + metro) \frac{{mi}^{i pag (X - y)}}{mi} d^{3} pag = \frac{- i}{(2 π)^{4}} \int_{C^{+}} \frac{(s yo pag + metro) {mi}^{- i pag (X - y)}}{{pag}^{2} - {metro}^{2}} d^{4} pag

$\begin{equation} = iS_{\alpha\beta}^{+}(x - y) = \frac{1}{2(2\pi)^{3}}\int (slp + m)\frac{e^{ip(x - y)}}{E}d^{3}p = \frac{- i}{(2\pi)^{4}}\int_{c^{+}}\frac{(slp + m)e^{-ip(x - y)}}{p^{2} - m^{2}}d^{4}p \end{equation}$ para el giro virtual

1 / 2

$1/2$ propagador de partículas feynman were\

i S_{F} (X - y) = ⟨ 0 | T {ψ (X) b ψ (y)} | 0 ⟩ = - ⟨ 0 | {b ψ (X) ψ (y)} | 0 ⟩

$\begin{equation} iS_{F}(x-y) = \langle 0 \vert T \lbrace \psi(x)b\psi(y)\rbrace \vert 0 \rangle = - \langle 0 \vert \lbrace b\psi(x)\psi(y)\rbrace \vert 0 \rangle \end{equation}$ si

t_{y} < t_{x}

$t_{y} < t_{x}$ (antipartícula)

= ⟨ 0 | [b ψ^{+} (X), ψ^{-} (y)]_{+} | 0 ⟩

$\begin{equation} = \langle 0 \vert[b\psi^{+}(x), \psi^{-}(y) ]_{+}\vert 0 \rangle \end{equation}$

= [b ψ^{+} (X), ψ^{-} (y)]_{+} ⟨ 0 | | 0 ⟩ = [b ψ^{+} (X), ψ^{-} (y)]_{+}

$\begin{equation} = [b\psi^{+}(x), \psi^{-}(y)]_{+}\langle 0 \vert \vert 0 \rangle = [ b\psi^{+}(x), \psi^{-}(y)]_{+} \end{equation}$

= i S^{-} (X - y) = - \frac{1}{2 (2 π)^{3}} \int (s yo pag - metro) \frac{{mi}^{i pag (X - y)}}{mi} d^{3} pag = \frac{i}{(2 π)^{4}} \int_{C^{-}} \frac{(s yo pag + metro) {mi}^{- i pag (X - y)}}{{pag}^{2} - {metro}^{2}} d^{4} pag

$\begin{equation} = iS^{-}(x - y) = -\frac{1}{2(2\pi)^{3}}\int (slp - m)\frac{e^{ip(x - y)}}{E}d^{3}p = \frac{ i}{(2\pi)^{4}}\int_{c^{-}}\frac{(slp + m)e^{-ip(x - y)}}{p^{2} - m^{2}}d^{4}p \end{equation}$ \ Las dos integrales de contorno en las últimas líneas () y () se combinaron en el paso final para producir la integral simple sobre el espacio real para obtener el resultado final para \textit{\textbf{el propagador de Feynman del espinor}}

S_{F} (X - y) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{d^{4} pag}{(2 π)^{4}} \frac{(s yo pag + metro) {mi}^{- i pag (X - y)}}{{pag}^{2} - {metro}^{2} + i ε}

$\begin{equation} S_{F}(x - y) = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{ d^{4}p}{(2\pi)^{4}}\frac{(slp + m)e^{-ip(x - y)}}{p^{2} - m^{2} + i\varepsilon} \end{equation}$ La forma espacial de cantidad de movimiento del propagador (su transformada de Fourier, es

S_{F} (pag) = \frac{s yo pag + metro}{{pag}^{2} - {metro}^{2} + i ε} = (s yo pag + metro) Δ_{F} (pag)

$\begin{equation} S_{F}(p) = \frac{slp + m}{p^{2} - m^{2} + i\varepsilon} = (slp + m)\Delta_{F}(p) \end{equation}$ Observa eso:

(s yo pag - metro) (s yo pag + metro) = γ^{m} γ^{v} {pag}_{m} {pag}_{v} - {metro}^{2} = {pag}^{2} - {metro}^{2}

$\begin{equation} (slp - m)(slp + m) = \gamma^{\mu}\gamma^{\nu}p_{\mu}p_{\nu} - m^{2} = p^{2} - m^{2} \end{equation}$ Entonces podemos multiplicar por

(s l p + m)

$(slp + m)$ tanto el numerador como el denominador en la ec. y reescribir

S_{F} (p)

$S_{F}(p)$ en la forma,

S_{F} (pag) = \frac{i}{s yo pag - metro} s yo pag = γ pag

$\begin{equation} S_{F}(p) = \frac{i}{slp - m}\\ slp = \gamma p \end{equation}$

Me temo que no veo bien dónde responde esto a la pregunta de por qué el propagador de fermiones es el derivado del propagador escalar, ¿podría aclarar eso?

benciano · Answer 3

Esta respuesta es de mi conferencia de QFT que preparé. Deseo que encuentres lo que buscas, házmelo saber. Es preferible escribir la colisión entre dos partículas en términos de \textit{amplitud} de \textit{probabilidad}. La aproximación perturbativa de QFT supone que las partículas se propagan libremente excepto en algunos puntos, cuando hay emisión o absorción de cuantos. escribimos la solución de ecuaciones de movimiento completadas como series pertirbativas alrededor de la solución libre de ecuaciones de movimiento de campo libre. El método utiliza la función de Green a la que R. Feynman dio su interpretación probabilista de implitud. La ecuación de movimiento del bosón libre (ecuación de Kein-Gordon) está escribiendo:\

({pag}^{2} - {metro}^{2}) φ (pag) = 0

$\begin{equation} \left( p^{2}-m^{2}\right) \varphi(p)=0 \end{equation}$ Dónde

φ (p)

$\varphi(p)$ es una función escalar.\ Función de Green

G (p)

$G(p)$ , en el espacio de la cantidad de movimiento es:

({pag}^{2} - {metro}^{2}) GRAMO (pag) = d^{4} (pag)

$\begin{equation} (p^{2}- m^{2})G(p)=\delta^{4}(p) \end{equation}$ Entonces

G (p) = \frac{δ^{4} (p)}{p^{2} - m^{2}}

$G(p)=\frac{\delta^{4}(p)}{p^{2}-m^{2}}$ ,

δ^{4}

$\delta^{4}$ es la función de Dirac definida como

d^{4} (pag) = d ({pag}_{0}) d ({pag}_{1}) d ({pag}_{2}) d ({pag}_{3})

$\begin{equation} \delta^{4}(p)=\delta(p_0)\delta(p_1)\delta(p_2)\delta(p_3) \end{equation}$ La interpretación de Feynman es que este operador es como la amplitud de probabilidad de que el bosón se propague con quadri-momento. Propagador =

\frac{i}{p^{2} - m^{2}}

$\frac{i}{p^{2}-m^{2}}$ . De la misma manera, feynman definió una amplitud de probabilidad de que el bosón sea emitido (o absorbido) por la partícula 1 y/o absorbido por la partícula 2 de interacciones. la magnitud de cada amplitud resulta ser la probabilidad de que ocurra esa interacción particular (transición). Cada una de estas amplitudes de transición depende de las partículas reales iniciales, las partículas reales finales y las partículas virtuales que median en la transición. Resulta que el factor en la amplitud que representa la contribución de la partícula virtual es idéntico al del propagador de Feynman.

Δ_{F}

$\Delta_F$ .\ \

Δ (X, y) = \int \frac{d^{4} k}{(2 π)^{4}} {Exp}^{- i k (X - y)} \frac{1}{k^{2} - {metro}^{2} + i ε}

$\begin{equation} \Delta(x,y) = \int\frac{d^{4}k}{(2\pi)^{4}} \exp^{-ik(x-y)} \frac{1}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon} \\ \end{equation}$ podemos escribir fácilmente la forma espacial de 4 impulsos del propagador, la transformada de Fourier de (3-30), que será muy útil

△_{F} (k) = \frac{1}{k^{2} - ({metro}^{2} + i ε)}

$\begin{equation} \triangle_{F}(k)= \frac{1}{k^{2}-(m^{2} + i\varepsilon)} \end{equation}$

benciano · Answer 4

El $\Gamma$ las matrices se pueden construir recursivamente, d = 2 Usando las matrices de Pauli, $\gamma _{0}=\sigma _{1}$ , $\gamma _{1}=-i\sigma _{2}$ donde las dos matrices gamma pueden estar dadas por $\Gamma^{1} =$
$\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$
y $\Gamma^{2} =$
$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$
puedes ver este documento "Jeong-Hyuck Park, Lecture note on Clifford algebra"

benciano · Answer 5

Lo siento, su pregunta es extraña para mí. ¡Matrices gamma definidas en dos dimensiones! donde encuentras este tema?

Matrices de espín de Pauli

σ^{i} = (σ^{1}, σ^{2}, σ^{3}), w h mi r mi :

$\begin{equation} \sigma^{i} = (\sigma^{1}, \sigma^{2}, \sigma^{3}) , where:\\ \end{equation}$

$\sigma^{1} =$
$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$
$\sigma^{2} =$ $\begin{pmatrix} 0 & - i\\ i & 0\\ \end{pmatrix}$ $\sigma^{3} =$ $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & - 1\\ \end{pmatrix}$ $\sigma^{0} =$ $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}$ \ \

$I^{0} =$ $\begin{pmatrix} \sigma^{0} & \textbf{0}\\ \textbf{0} & \sigma^{0}\\ \end{pmatrix}$ $\textbf{0} =$ $\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}$ \ las matrices $\gamma_{\mu}$ recluta \textit{\textbf{matrices de Dirac}}, se escribe: $\gamma_{\mu}$ = $\begin{pmatrix} 0 & -i\sigma_{i}\\ i\sigma_{i} & 0\\ \end{pmatrix}$ $i = 1, 2, 3$ $\gamma_{0}$ = $\begin{pmatrix} I & 0\\ 0 & - I\\ \end{pmatrix}$ \ \ Creo que te refieres a esta solución, pero no significa dos dimensiones como creo: hemos escrito las matrices de Dirac en bloques de $2\times2$ matrices, y es natural escribir de manera similar el campo de Dirac de cuatro componentes como un par de campos de dos componentes:\

$\Psi =$ $\begin{pmatrix} \Psi_{L}\\ \Psi_{R}\\ \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} \Psi_{L}\\ 0\\ \end{pmatrix}$ $+$ $\begin{pmatrix} 0\\ \Psi_{R}\\ \end{pmatrix}$ \ dónde $\Psi_{L}$ y $\Psi_{R}$ son, respectivamente, los dos componentes superior e inferior del campo de Dirac de cuatro componentes:\ $\Psi_{L} =$ $\begin{pmatrix} \psi_{1}\\ \psi_{2}\\ \end{pmatrix}$ y $\Psi_{R} =$ $\begin{pmatrix} \psi_{3}\\ \psi_{4}\\ \end{pmatrix}$ \ La ecuación de Dirac (5.2) se convierte en:\ $i$ $\begin{pmatrix} \sigma^{0} & 0\\ 0 & \sigma^{0}\\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \partial_{0}\Psi_{L}\\ \partial_{0}\Psi_{R}\\ \end{pmatrix}$ $+ i$ $\begin{pmatrix} - \sigma^{i} & 0\\ 0 & \sigma^{i}\\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \partial_{i}\Psi_{L}\\ \partial_{i}\Psi_{R}\\ \end{pmatrix}$ $-m$ $\begin{pmatrix} 0 & \sigma^{0}\\ \sigma^{0} & 0\\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \Psi_{L}\\ \Psi_{R}\\ \end{pmatrix}$ $= 0$ \ La multiplicación de bloques da dos ecuaciones acopladas para $\Psi_{L}$ y $\Psi_{R}$ :\

i σ^{0} \partial_{0} Ψ_{L} - i σ^{i} \partial_{i} Ψ_{L} - metro Ψ_{R} = 0

$\begin{equation} i\sigma^{0}\partial_{0}\Psi_{L} - i\sigma^{i}\partial_{i}\Psi_{L} - m\Psi_{R} = 0 \end{equation}$

i σ^{0} \partial_{0} Ψ_{R} + i σ^{i} \partial_{i} ψ_{R} - metro Ψ_{L} = 0

$\begin{equation} i\sigma^{0}\partial_{0}\Psi_{R} + i\sigma^{i}\partial_{i}\psi_{R} - m\Psi_{L} = 0 \end{equation}$ la función de onda ahora es bi-speror con cuatro componentes poseídos:\

Ψ

$\Psi$ =

(\begin{matrix} ψ_{1} \\ ψ_{2} \\ ψ_{3} \\ ψ_{4} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \psi_{1}\\ \psi_{2}\\ \psi_{3}\\ \psi_{4}\\ \end{pmatrix}$

No no no. En muchas ocasiones se habla de la anomalía quiral en dos dimensiones (donde la historia es mucho más sencilla que en cuatro dimensiones). Para proceder, se necesita calcular el diagrama triangular y, por supuesto, se necesita tratar con matrices gamma.
Te escribo la respuesta a continuación, este tema está en el marco de "Álgebra de Clifford"

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