La representación fundamental de SU(3)SU(3)SU(3) es una representación compleja

En primer lugar, estamos tratando con representaciones unitarias , de modo que la$T^a$s son siempre autoadjuntas y las representaciones tienen la forma

$$U(v) = e^{i \sum_{a=1}^Nv^a T_a}$$ con $v \in \mathbb R^N$. cuando dices eso $U$es real, solo quiere decir que la representación está hecha de lo muy real , unitario, $n\times n$matrices $U$. De esta manera, la condición $(T_a)^* = -T_a$es equivalente al requisito de realidad (en el sentido propio).

Vayamos a su par de preguntas.

(1) . Tienes razón en tu punto:

PROPUESTA . Una representación unitaria de dimensión finita es compleja (es decir, no es ni real ni pseudoreal) si y solo si al menos un generador autoadjunto$T_a$tiene un valor propio$\lambda$tal que$-\lambda$no es un valor propio.

PRUEBA

Suponer que

$$(T_a)^* = -V T_a V^{-1}\tag{1}$$ para alguna matriz unitaria $V$y cada $a=1,2,3,\ldots, N$. Como también sabemos que $T_a$es autoadjunto, hay una base ortogonal de vectores propios $u_j^{(a)}\neq 0$, $j=1,\ldots, n$y los valores propios $\lambda_j^{(a)}$Son reales. Por lo tanto: $$T_au_j^{(a)}= \lambda_j^{(a)} u_j^{(a)}\:.$$ Tomando la conjugación compleja y usando (1) $$VT_aV^{-1}u_j^{(a)*}= -\lambda_j^{(a)} u_j^{(a)*}$$ de modo que $V^{-1}u_j^{(a)*}\neq 0$es un vector propio de $T_a$con valor propio $-\lambda_j$. Concluimos que $\lambda$es un valor propio si y solo si $-\lambda$es (por lo tanto, si la dimensión del espacio es impar, $0$debe ser necesariamente un valor propio también).

Supongamos, viceversa , que para la matriz autoadjunta$T^a$sus valores propios (reales) satisfacen la restricción de que$\lambda$es un valor propio si y solo si$-\lambda$es. Como$T^a$es autoadjunta, existe una matriz unitaria tal que:

$$T_a = U diag(\lambda_1, -\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_2,..., \lambda_{n/2},-\lambda_{n/2}) U^{-1}$$ cuando $n$es par, de lo contrario hay un último elemento que se desvanece en la diagonal. De este modo $$T^*_a = U^* diag(\lambda_1, -\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_2,..., \lambda_{n/2},-\lambda_{n/2}) U^{-1*}$$ Darse cuenta de $U^*$es unitario si $U$Es como. Indiquemos por $e_1,e_2, \ldots, e_n$la base ortonormal de los vectores propios de $T^a$donde la matriz toma la forma diagonal anterior. Si $W$es la matriz unitaria (real) que intercambia $e_1$con $e_2$, $e_3$con $e_4$y así sucesivamente (dejando $e_n$arreglado si $n$es impar), tenemos que $$W diag(\lambda_1, -\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_2,..., \lambda_{n/2},-\lambda_{n/2}) W^{-1} = - diag(\lambda_1, -\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_2,..., \lambda_{n/2},-\lambda_{n/2})$$ y por lo tanto $$T^*_a = U^*W^{-1}(- UT_aU^{-1}) WU^{-1*} = -S T_a S^{-1}$$ con $S= U^*W^{-1}U$, que es unitario por composición de matrices unitarias.

Podemos concluir que, como afirmas, una forma de mostrar que una representación es compleja (es decir, no es real) es mostrar que al menos una matriz generadora$T_a$tiene valores propios (que no desaparecen) que no vienen en pares más-menos.

QED

(2) . En vista de (1) , si la lista de valores propios que presentó es correcta, la representación considerada es obviamente compleja.

La representación fundamental N-dimensional de SU(N) para N mayor que dos es una representación compleja cuyo conjugado complejo a menudo se denomina representación antifundamental.

Por tanto, la representación fundamental SU(3) es una representación compleja.

(ver por ejemplo: Wiki )