Como estudiante de posgrado en Matemáticas, mi interés radica en la teoría de números. Tengo curiosidad por saber si la teoría de números tiene alguna conexión o aplicación a la física. Ni siquiera he oído hablar de ninguna aplicación de la teoría de números a la física. He oído Aplicaciones del álgebra lineal y el análisis a muchas ramas de la física, pero no a la teoría de números.
¡Esperando recibir respuestas interesantes!
No estoy seguro de poder publicar todos los enlaces que me gustaría (todavía no hay suficientes 'puntos de reputación'), pero intentaré señalar las principales referencias que conozco.
Matilde Marcolli tiene un buen artículo titulado " Teoría de Números en Física " que explica los varios lugares en Física donde aparece la Teoría de Números.
[Tangencialmente, hay un artículo de Christopher Deninger titulado " Algunas analogías entre la teoría de números y los sistemas dinámicos en espacios foliados " que puede abrir algunas ventanas en este tema: después de todo, los sistemas locales están en la base de gran parte de la física moderna (formulaciones de paquetes, etc).]
Hay un sitio web llamado " Teoría de Números y Archivo de Física " que contiene una vasta colección de enlaces a trabajos en esta interfaz.
Sir Michael Atiyah acaba de dar una charla (la semana pasada) en la Conferencia Inaugural del Centro Simons, hablando sobre la interacción reciente entre Física y Matemáticas. Y culminó su charla especulando sobre la conexión entre la Gravedad Cuántica y la Hipótesis de Riemann. Se suponía que iba a dar una charla en el IAS sobre este último tema, pero fue cancelada.
Para terminar, déjenme traer a la mesa la Dualidad de Langlands : está relacionada con las Formas Modulares y, por tanto, con la Teoría de Números. (Versión Cavalier: Piense en la integral de trayectoria QFT como si tuviera una simetría de Möbius con respecto a las constantes de acoplamiento en el Lagrangiano).
Con eso fuera del camino, creo que el mejor ángulo para ver la conexión entre la Teoría de Números y la Física es pensar en el problema de la física de una manera diferente: pensar en los puntos críticos en el Potencial y lo que significan en el Espacio de Fases (Hamiltoniano y/o flujo geodésico: Jacobi convertido uno en otro; piense en los campos de Jacobi en Geometría diferencial), piense en cómo se desarrolla esto en QFT, piense en Moduli Spaces y su conexión con lo anterior. Así es como veo este marco... ;-)
Una idea semi-tonta sobre la que he leído es el gas Primon , un modelo donde la función zeta de Riemann surge como la función de partición de un sistema mecánico estadístico cuántico.
Más en serio, eche un vistazo a los artículos de Yuri Manin y Matilde Marcolli sobre el hep-th arxiv , que intentan conectar el principio holográfico con la geometría aritmética. Creo que hay muchas esperanzas de que las técnicas de la física inspiradas en la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas puedan tener aplicaciones en varias ramas de las matemáticas, incluida la teoría de números (para este tipo de cosas, no puedo hacer nada mejor que señalarles los escritos de John Baez ) -- No soy tan consciente de las aplicaciones de la teoría de números al tipo de física que se puede probar experimentalmente (aunque me encantaría que me corrigieran).
Un ejemplo no relacionado: Freeman Dyson ha hecho especulaciones vagas sobre los cuasicristales y la hipótesis de Riemann, puede leer sobre esto junto con una historia entretenida en este artículo .
Hay un artículo fantástico sobre la relación entre la hipótesis de Riemann y el "caos cuántico" en www.msri.org/ext/Emissary/EmissarySpring02.pdf (comienza en la página 1, continúa en la página 12).
Aquí hay un extracto (recuerde que la Conjetura de Montgomery es una conjetura sobre el número esperado de ceros de la función zeta de Riemann que siguen a un cero en un intervalo de cierta longitud):
Montgomery se sorprendió al descubrir que Dyson conocía muy bien la función bastante complicada que aparecía en la conjetura de Montgomery, e incluso la conocía en el contexto de comparar brechas entre puntos con la brecha promedio. Sin embargo, aquí está lo sorprendente: Dyson no conocía esta función por la teoría de los números, sino por la mecánica cuántica. Es precisamente la función que el mismo Dyson había encontrado una década antes al modelar los niveles de energía en sistemas dinámicos complejos desde el punto de vista de la física cuántica. Ahora se cree que las mismas estadísticas describen los niveles de energía de los sistemas caóticos; en otras palabras, ¡caos cuántico!
El artículo también describe algunas otras conexiones sorprendentes entre diferentes funciones zeta y los niveles de energía de otros tipos de sistemas caóticos. En lugar de copiarlos aquí (no puedo resumirlos, ya que yo mismo no lo entiendo bien), terminaré con una cita del artículo:
En resumen, el desarrollo más intuitivo del caos cuántico permite predicciones más fructíferas sobre la distribución de números primos (y más allá). Por otro lado, el desarrollo más cauteloso de la teoría de los números primos conduce a predicciones más precisas en el caos cuántico.
No me di cuenta de esto hasta hace muy poco, cuando leí casualmente este artículo sobre las expresiones de Ramanujan para formas modulares (que son una forma de funciones holomorfas que dejan invariantes ciertos retículos y se estudian ampliamente por sus aplicaciones de teoría de números). Aparentemente hay algo llamado "agujeros negros modulares" del cual no tengo la menor idea de qué se trata, pero menciona que son termodinámicamente cercanos a los agujeros negros normales, por lo que pueden usarse para calcular ciertas funciones de codificación del horizonte de eventos. grados de libertad
Preferiría que alguien proporcione una respuesta autorizada que mencione más detalles sobre esto, ya que mis divagaciones se extraen más o menos sin modificaciones del artículo. Espero que alguien que realmente entienda esto se moleste lo suficiente con mi respuesta y proporcione una real.
Estoy sobre hielo delgado aquí, pero sé que las personas en teoría de números estudian formas modulares, y esto está conectado a funciones de partición, por ejemplo, de teoría de campo conforme.
El volumen 2 " Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry ", editado por Cartier et al, es una gran colección de artículos.
Mi otra sugerencia sería echar un vistazo a esta página (taller de "Teoría de números y física en la encrucijada" realizado en Banff): la mitad inferior de la página enumera un número significativo de esas áreas donde la física y la teoría de números florecen juntas.
existe una conjetura llamada HIPÓTESIS DE RIEMANN, que tiene una profunda relación entre las raíces de la función Riemann Zeta y los valores propios de un hamiltoniano
http://arxiv.org/abs/1101.3116
http://findarticles.com/p/articles/mi_m1200/is_7_174/ai_n30887057/
y mi humilde artículo sobre el tema http://vixra.org/pdf/1007.0005v8.pdf de hecho, la HIPÓTESIS DE RIEMANN se limita a usar WKB para encontrar un hamiltoniano cuyos valores propios son el cuadrado de los ceros de RIemann (parte imaginaria) y su FUNCIONAL DETERMINANTE es solo la función RIemann Xi
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