¿Una cabeza de alfiler calentada a 15 millones de grados Celsius mataría a todos en un radio de 1000 millas?

En esta ocasión, Vsauce dejó caer la pelota, creo. Como muestran las otras respuestas, el reclamo como se indica no tiene mucho sentido cuando ingresa los números, y si persigue la fuente hasta su origen, hay un contexto crucial que se dejó caer a lo largo de la cadena.

La descripción del video atribuye la cita al libro The Universe and the Teacup: The Mathematics of Truth and Beauty , de KC Cole, que contiene la cita, atribuida a James Jeans (pero sin una referencia real), en la segunda página del capítulo 2. ,

Una cabeza de alfiler calentada a la temperatura del centro del Sol, escribe Jeans, "emitiría suficiente calor para matar a cualquiera que se aventurara a mil millas de él".

La cita misma proviene de The universe around us (Cambridge University Press, 1930), p. 289, y dice

La temperatura central calculada de 30 a 60 millones de grados trasciende tanto nuestra experiencia que es difícil darse cuenta de lo que significa. Mantengamos, en la imaginación, un milímetro cúbico de materia ordinaria ─ un trozo del tamaño de la cabeza de un alfiler ordinario ─ a una temperatura de 50.000.000 grados, la temperatura aproximada en el centro del sol. Por increíble que parezca, simplemente para mantener esta cabeza de alfiler de materia a tal temperatura, es decir, para reponer la energía que pierde por la radiación de sus seis caras, se necesitará toda la energía generada por un motor de tres mil millones de millones de caballos. energía; la cabeza de alfiler de materia emitiría suficiente calor para matar a cualquiera que se aventurara a menos de mil millas de ella.

---

Bien, después de completar las referencias, separemos el cálculo y veamos cuál es realmente el reclamo. Lo que Cole y Vsauce se perdieron en la cita es un calificador crucial:

simplemente para mantener esta cabeza de alfiler de materia a tal temperatura...

Por lo tanto, la afirmación es que un objeto a una temperatura tan alta, si se irradiara como un cuerpo negro, y al mismo tiempo tuviera una bomba de energía mágica para mantenerlo a esa temperatura, sería tan mortal como se afirma.

Para ver si esto es cierto, pongamos algunos números. Un cuerpo negro a temperatura$T$irradia una potencia determinada por la ley de Stefan-Boltzmann, que dice$P=\sigma AT^4$, dónde$A=6\:\mathrm{mm}^3$es el área de la cabeza de alfiler cúbica del párrafo y$\sigma = 5.67\times 10^{-8}\:\mathrm{W\:m^{-2}\:K^{-4}}$es la constante de Stefan-Boltzmann, y esta potencia se distribuye por igual sobre una esfera de radio$R=1000\:\mathrm{mi}$, por lo que esto da una densidad de potencia en ese radio de 1000 millas de

$$j = \frac{\sigma \, A \, T^4}{ 4\pi R^2} \approx 0.0104 \left(T/\mathrm{MK}\right)^4 \:\mathrm{W/m^2}.$$ Ahora, aquí llegamos a uno de los puntos difíciles: la afirmación en el libro de Jeans ha sobreestimado la temperatura del núcleo del sol en aproximadamente $50/15\approx 3.33$, pero Vsauce ha pasado por alto esa discrepancia y ha repetido la afirmación del valor más moderno de $15\:\mathrm{MK}$. Normalmente, esto no sería un problema, porque los factores de $3$son bastante ignorables en los análisis de Fermi, pero la ley de Stefan-Boltzmann tiene una dependencia cuartica en $T^4$y esto puede acumularse rápidamente, dando una discrepancia de $(50/15)^4\approx 120$entre el reclamo Vsauce y su fuente Jeans.

En este caso, la diferencia sí importa, probablemente porque Jeans ha elegido sus números para que estén más o menos en los límites de lo que pueden dar. Si ponemos los números para el valor moderno de la temperatura central, obtenemos

$$j_\mathrm{Vsauce} \approx 0.0104 \times 15^4 \:\mathrm{W/m^2} \approx 530\:\mathrm{W/m^2},$$ que curiosamente es justo por debajo de la mitad de la constante solar , es decir, la densidad de flujo de energía del Sol real en la superficie de la Tierra. Por lo tanto, desde una perspectiva de flujo de calor puro, si estuvo expuesto a esto durante un período prolongado de tiempo, es posible que se queme levemente con el sol, pero está muy lejos de ser mortal.

El reclamo de Jeans, por otro lado, es algo diferente debido a ese factor de cien, dando

$$j_\mathrm{Jeans} \approx 0.0104 \times 50^4 \:\mathrm{W/m^2} \approx 65\:\mathrm{kW/m^2} = 6.5 \:\mathrm{W/cm^2},$$ y eso está mucho más cerca de los umbrales de daño. Según Safety with Lasers and Other Optical Sources: A Comprehensive Handbook (Sliney y Mellerio, Springer, 1980, p. 162), el umbral para las quemaduras por destello es de alrededor $12\:\mathrm{W/cm^2}$, mientras que las quemaduras de segundo grado comienzan en $24\:\mathrm{W/cm^2}$- para una exposición con flash de menos de medio segundo de duración. Quédese por más de un minuto y parece correcto que muy rápidamente desarrollará algunas quemaduras muy graves y sucumbirá a ellas poco después.

Sin embargo, como se señaló en los comentarios, la mayor parte de la radiación que transporta esta energía será en forma de fotones de alta energía, con un pico de alrededor de$1.3\:\mathrm{keV}$(por$T=15\:\mathrm{MK}$; es$4.3\:\mathrm{keV}$a$T=50\:\mathrm{MK}$), y eso es al comienzo del régimen de radiación ionizante (más específicamente rayos grenz ), lo que significa que los efectos son un poco más difíciles de modelar, y la radiometría detallada de lo que sucedería es quizás un ejercicio interesante para un xkcd ¿Y si? episodio.

Como estimación aproximada, si asume que toda la radiación es absorbida (razonable dada esta gráfica de longitudes de atenuación en el agua), y tomando un área de superficie de$1\:\mathrm{m}^2$y una masa corporal de$75\:\mathrm{kg}$, el flujo de energía de Jeans, visto como radiación ionizante, es equivalente a una dosis absorbida de aproximadamente$870\:\mathrm{Gy/s}$, que inmediatamente se sale de control. La fuente de temperatura más baja en$15\:\mathrm{MK}$libera una dosis equivalente de aproximadamente$7\:\mathrm{Gy/s}$, que supongo que está un poco por encima del estadio de béisbol de un síndico de Chernobyl después de un par de segundos. Parece, entonces, que a ambas temperaturas es probable que muera por enfermedad de la radiación, aunque los detalles serán complicados de resolver, pero, de nuevo, no es realmente lo que implican las fuentes originales.

Sin embargo, para enfatizar ─ este cálculo asume que tienes una fuente mágica de energía que puede suministrar el${\sim}2\times 10^{18}\:\mathrm{W}$(!) requerido para mantener esa cabeza de alfiler en$50\:\mathrm{MK}$. Es razonable suponer si ya estás en el terreno de las hipótesis, pero es una pregunta completamente diferente a la energía que realmente se almacena en esa pequeña cantidad de plasma de hierro altamente ionizado, y es importante decirlo desde el principio.

---

Guardaré esto para la próxima vez que necesite asustar a alguien para que verifique sus fuentes ─ es un monumento al descuido académico , por así decirlo ─ porque es un buen ejemplo de cómo las cosas se desmoronan si no miras con suficiente cuidado. . La afirmación, en su contexto original, es más o menos razonable, pero la afirmación de Vsauce fracasa incluso bajo un escrutinio leve.

Una cabeza de alfiler es quizás equivalente a una pieza esférica de hierro con un diámetro de 2 mm. Eso le da un volumen de unos 4 mm.$^3$y una masa de$3.2 \times 10^{-6}~\rm{kg}$; calcular la capacidad calorífica de la materia a este tipo de temperaturas es difícil, pero sea cual sea el método que utilice, el contenido de energía del alfiler que calcule sería insuficiente para matar a todos los seres vivos a esa distancia.

Pero, ¿qué pasaría si fuera al límite extremo: la materia de alguna manera se convierte por completo en energía? En ese caso, la energía sería

$$E = mc^2 = 3\cdot 10^{11} \:\mathrm{J}\, .$$

Eso es mucha más energía, pero si la distribuyes en una esfera de 1000 millas de radio, tendrías 9 mJ (mili Joules) de energía por metro cuadrado: esto claramente no es suficiente para matar "todo" a esa distancia.

Por otro lado, si pudieras calentar la cabeza de un alfiler a esa temperatura y mantenerla así de caliente , eso requeriría (y liberaría) una cantidad muy significativa de energía.

Suponiendo un radiador de cuerpo negro perfecto con un radio de 1 mm a 15 MK, la potencia emitida por unidad de tiempo sería

$$P = A\sigma T^4 = 4\pi 10^{-6} \cdot 5.67\cdot 10^{-8} (15\cdot10^6)^4 = 4\times 10^{16} \:\mathrm{W} \, .$$

Esa es una potencia seria, pero cuando distribuimos esa potencia sobre una esfera con un radio de 1000 millas, la densidad de potencia es de aproximadamente 1,2 kW/m$^2$, que es aproximadamente la intensidad de la luz solar.

Ahora vale la pena señalar (como lo señaló David Hammen) que la distribución de longitud de onda de este poder está "mucho más allá de lo visible". De hecho, la ley de desplazamiento de Wien nos dice que el pico está en$\lambda = \frac{b}{T}$dónde$b=2.9\cdot 10^{-3} m K$. A una temperatura de 15 MK, la longitud de onda máxima es de 0,2 nm, el reino de los rayos X. De hecho, la práctica conversión de longitud de onda a eV es E = (1240 eV nm) /$\lambda$, por lo que 0,2 nm tiene una energía de unos 6 keV. Por suerte para usted, esa es una energía que el aire absorbe bien; según esta tabla, el coeficiente de atenuación a 6 keV es de aproximadamente 23 cm.$^2$/ gramo Con la densidad del aire en alrededor de 1,2 kg / m$^3$o 1,2 mg/cm2$^3$, la longitud de atenuación en el aire es de 0,027 cm$^{-1}$. Eso significa que ninguna de esa radiación llegaría muy lejos. El aire local se ionizaría masivamente, pero luego volvería a emitir energía en longitudes de onda progresivamente más largas; a 1000 millas estaría bastante bien protegido.

Claramente, acercarse mucho a un cuerpo tan caliente lo mataría, pero a 1000 millas obtiene "solo" el poder del sol, que debería poder sobrevivir. Simplemente no mires directamente al pin, probablemente te quedes ciego.

Y dado el poder necesario, no, no puedes hacer (y mantener) una pequeña gota de materia tan caliente.

Una pequeña bomba atómica convierte aproximadamente 1 g de su masa en energía.

Entonces, incluso en el mejor (¿peor?) caso de que la cabeza de un alfiler se convierta perfectamente en energía, se trata solo de la cantidad de energía necesaria para reconstruir severamente el centro de una ciudad pequeña. Ciertamente no mató a todos dentro de 1000mi

Depende de lo rápido que lo hayas calentado. Si no lo hizo instantáneamente como en una fracción de segundo, pero digamos que tomó una hora para hacerlo. la pequeña masa real de acero de la que hablas pasaría gradualmente por los siguientes cambios de fase a medida que se calentaba.

sólido a líquido

si de alguna manera se limita al volumen de cabeza de alfiler:

líquido a gas

finalmente gas a plasma

Dado que de acuerdo con la ley de Boyle, el volumen de una cantidad de gas aumenta con la temperatura, tendría que confinar la masa original de la cabeza de alfiler de alguna manera para permanecer en ese volumen de la cabeza de alfiler, y aún más cuando la masa cambia de gas a plasma. En cualquier sentido, un calentamiento gradual no provocará la onda de choque térmico que provocaría un calentamiento instantáneo rápido.

La cabeza de alfiler está hecha de acero, que tiene alrededor de un 80 % de hierro y un 20 % de carbono. Si bien es posible que algunos núcleos de carbono se fusionen a través de túneles cuánticos a 15 millones de grados, esta temperatura sigue siendo insuficiente para la fusión de hierro con hierro o la fusión de carbono con hierro.

Incluso si fueras capaz de causar la fusión de todos los núcleos de carbono en esta diminuta muestra, no tendrías suficiente energía para lograr dicha devastación; ni siquiera una fracción de ella.