Diámetro métrico de una singularidad de anillo

En la métrica de Kerr, la singularidad del anillo se encuentra en el radio de coordenadas r = 0 , que corresponde a un anillo con el radio cartesiano R = a .

Entonces, el centro de la singularidad del anillo en coordenadas cartesianas está en r = − a ,   θ = π / 2 .

Pero el centro en coordenadas cartesianas también está en r = 0 ,   θ = 0 (en r = 0 todo θ están en el plano ecuatorial, al menos en las coordenadas de Boyer Lindquist y también en las de Kerr Schild).

Para calcular el diámetro físico para ver cuánto cabe por el anillo (en un ejemplo es un tigre , en otro Alice & Bob ), ¿integraría

( 1 )         θ = π / 2 ,     d = 2 ∫ − a 0 | gramo r r |     d r = 2 ( 2 − a ) a + 4 arcsen ⁡ ( a 2 )

en el plano ecuatorial, o es más bien

( 2 )         r = 0 ,     d = ∫ − π / 2 π / 2 | gramo θ θ |     d θ = 2 a

ya que eso también debe cubrir la distancia de un lado del anillo al opuesto.

Acercarse ( 2 ) da exactamente el diametro en coordenadas cartesianas, pero no se si se supone que es asi, o es solo una coincidencia, ya que de lo contrario la distancia metrica no es necesariamente la misma que la coordenada o distancia cartesiana.

entonces cual es ( 1 ) o ( 2 ) ? ¿O se hace de una manera completamente diferente?

Las coordenadas que utilicé son las coordenadas de Kerr Schild , que deberían cubrir el interior con los componentes relevantes

gramo r r = − 2 r a 2 porque 2 ⁡ θ + r 2 − 1   ,     gramo θ θ = − r 2 − a 2 porque 2 ⁡ θ

Supongo que es un enfoque ( 2 ) ya que nadie puede ingresar a la singularidad del anillo desde el plano ecuatorial, pero me gustaría escuchar una segunda opinión al respecto

Me parece poco probable que pueda formular una noción de diámetro que tenga sentido aquí. Dejando de lado todas las cuestiones sobre el mal comportamiento de la métrica en la singularidad del anillo, está la cuestión de qué camino espacial desea integrar. Para que la noción de diámetro tenga sentido, tendría que haber algún camino preferido. Fuera del horizonte de un agujero negro de Schwarzschild, tenemos un observador estacionario preferido en cualquier punto dado y, por lo tanto, hay una dirección radial preferida que es ortogonal a la línea de universo de ese observador. Pero esto no funciona aquí.
Por lo tanto, estoy usando las coordenadas de Kerr Schild (que son como Finkelstein, pero para el caso de rotación), que me permiten integrar la distancia en un marco de caída libre (el término cruzado g_tr es el cuadrado de la velocidad de caída libre). Ahora estoy bastante seguro de que es el método 2 (la integral g_θθ de -90° a +90° a lo largo de r=0) que me da el diámetro local de un objeto que simplemente pasa por el anillo.

Respuestas (1)

El razonamiento se puede realizar en coordenadas Boyer-Lindquist.

La singularidad del anillo tiene coordenadas r = 0 , θ = π / 2 . El radio del anillo está descrito por r = 0 , θ = [ 0 , π / 2 ] . Eso significa que podemos integrarnos a lo largo de un camino definido por esas coordenadas con d t = d r = d ϕ = 0 .
d s 2 = gramo θ θ d θ 2
dónde:
gramo θ θ = r 2 + a 2 porque 2 ⁡ θ = a 2 porque 2 ⁡ θ , ( r = 0 )
R r i norte gramo = a ∫ 0 π / 2 porque ⁡ θ d θ = a
Tenga en cuenta que gramo θ θ es positivo, por lo que el camino es similar al espacio.
El enfoque (2) es correcto.

En cambio, el enfoque (1), que es la integración sobre la coordenada radial r no es viable como r es nulo, es decir, constante a lo largo del camino significado d r = 0 .

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