Desplazamiento al rojo gravitacional en el espacio-tiempo de Kerr

Question

Desplazamiento al rojo gravitacional en el espacio-tiempo de Kerr

MNRaia

Bueno, supongamos entonces agujeros negros de Schwarschild. Siguiendo el $[1]$ , tenemos el factor de corrimiento al rojo :

\begin{matrix} (1) & d τ = \sqrt{1 - \frac{2 METRO}{r}} d t . \end{matrix}

$d\tau = \sqrt{1-\frac{2M}{r}}dt. \tag{1}$

Este factor tiene una interpretación física como el tiempo que un observador dado mide en su propio reloj, es decir, para un observador estacionario el tiempo propio se relaciona con el tiempo medido por un observador distante a través de $(1)$

Por el contrario, si tomamos la $r= cte$ , $\theta = cte$ y $\phi = cte$ entonces la métrica se reduce a:

\begin{matrix} (2) & d τ^{2} = {gramo}_{00} d t^{2} \end{matrix}

$d\tau ^{2} = g_{00}dt ^{2} \tag{2}$

Que es el corrimiento al rojo gravitacional.

Ahora, esta realización parece ser válida para todas las métricas. Quiero decir, tome la métrica de Kerr (que es un ejemplo de tensor no diagonal) si afirmamos lo mismo (ahora las coordenadas de Boyer-Lindquist, por supuesto) $r= cte$ , $\theta = cte$ y $\phi = cte$ obtenemos:

\begin{matrix} (3) & d τ = \sqrt{(1 - \frac{2 METRO r}{r^{2} + a^{2} C o s^{2} θ})} d t \end{matrix}

$d\tau = \sqrt{\Bigg(1-\frac{2Mr}{r^{2}+a^{2}cos^{2}\theta}\Bigg)}\hspace{3mm} dt \tag{3}$

mi duda es:

¿Podemos decir que el factor anterior, usando la métrica kerr, tiene una interpretación física como el tiempo que un observador dado mide en su propio reloj, es decir, para un observador estacionario el tiempo propio se relaciona con el tiempo medido por un observador distante a través de $(3)$ ?

* * *

$* * *$

$[1]$ Relatividad desmitificada

Respuestas (2)

Desplazamiento al rojo gravitacional en el espacio-tiempo de Kerr

G. Smith · Answer 1

Sí, esto es correcto para un observador en reposo en coordenadas Boyer-Lindquist. El mismo razonamiento se aplica a cualquier métrica. Pero no es tan interesante porque, en general, es más probable que los observadores se estén moviendo (por ejemplo, orbitando).

Yukterez · Answer 2

Para un ZAMO es

\frac{d t}{d τ} = \sqrt{{gramo}^{t t}}

$\frac{{\rm d} t}{{\rm d} \tau} = \sqrt{g^{t t}}$

para un objeto que se mueve con velocidad local $v$ relativo al ZAMO es

\frac{d t}{d \bar{τ}} = \frac{\sqrt{{gramo}^{t t}}}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}}

$\frac{{\rm d} t}{{\rm d} \bar\tau} = \frac{\sqrt{g^{t t}}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

y para un observador estacionario con respecto a las estrellas fijas es

\frac{d t}{d \tilde{τ}} = \frac{1}{\sqrt{{gramo}_{t t}}} = \frac{\sqrt{{gramo}^{t t}}}{\sqrt{1 - {\tilde{v}}^{2} / C^{2}}}

$\frac{{\rm d} t}{{\rm d} \tilde\tau} = \frac{1}{\sqrt{g_{t t}}} = \frac{\sqrt{g^{t t}}}{\sqrt{1-\tilde v^2/c^2}}$

dónde $\tilde v$ es la velocidad de arrastre del marco local en relación con las estrellas fijas

\tilde{v} = C \sqrt{{gramo}_{t ϕ} {gramo}^{t ϕ}} = C \sqrt{1 - {gramo}_{t t} {gramo}^{t t}}

$\tilde v = c \sqrt{g_{t \phi} \ g^{t \phi}} = c \sqrt{1 - g_{t t} \ g^{t t}}$

Gracias. Pero esto no invalida mi análisis, ¿verdad? (además, su trabajo en las simulaciones de espacio-tiempo de Kerr es bastante bueno)
No, no lo invalida, solo quería ampliarlo. Solo tenga en cuenta que la relación gravitacional es absoluta mientras que el componente cinemático es simétrico, por lo que si desea conocer la dilatación del tiempo de un observador lejano en el marco de la partícula en órbita en lugar de viceversa, debe dividir por el factor gamma γ=√(1-v²/c²)⁻¹ en lugar de multiplicarlo.
Si reproduzco estas cantidades (es decir, hago los mismos cálculos que usted; por ejemplo, el ZAMO) para otra métrica giratoria (un agujero negro sin Kerr, pero aún un tensor axisimétrico), ¿llegaré a interpretaciones similares?
Sí, pero si, por ejemplo, usa coordenadas de gotas de lluvia (Doran), entonces el $\sqrt{g^{tt}}$ le da la dilatación del tiempo en relación con una partícula de prueba que cae y gira radialmente, mientras que en Boyer Lindquist es una partícula de prueba corrotante y radialmente estacionaria, siempre depende de la referencia local de las coordenadas elegidas. Si desea describir la dilatación del tiempo de un ZAMO radialmente estacionario, pero utilizando las coordenadas de Doran, debe tener en cuenta la velocidad radial de su ZAMO en relación con el marco de referencia descendente.

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