Estados propios de la mitad del oscilador armónico [cerrado]

Los estados propios serán los estados propios impares del oscilador armónico. (Esto se deduce del requisito de que$\psi(0)=0$.)

Si aceptamos que los estados propios del oscilador armónico forman un conjunto completo de funciones en$\mathbb{R}$, entonces se sigue que los autoestados impares forman un conjunto completo para funciones impares en$\mathbb{R}$. Dado que cualquier función en el medio espacio se puede representar restringiendo una función impar en$\mathbb{R}$al medio espacio, debe seguirse que los estados propios impares forman un conjunto completo en el medio espacio.

Una ecuación de Schroedinger (independiente del tiempo) con un potencial de la forma

$$V(x)=\begin{cases} \infty \quad(x<0)\\ \frac12m\omega^2 x^2\quad (x>0) \end{cases}$$ necesariamente tendrá$\psi(x)=0$como solución para$x<0$, porque la barrera de potencial infinito impide que se acceda a la región x negativa.

Para la parte positiva, la ecuación de Schroedinger es la misma del problema del Oscilador Armónico Simple, por lo que para encontrar las soluciones podemos usar el mismo razonamiento usado para el problema original, teniendo cuidado de reemplazar la condición de frontera por$x\rightarrow\infty$con el requisito de que la función de onda sea continua en$x=0$, es decir:

$$\lim_{x\rightarrow 0^+}\psi(x)=0$$

Recordamos que las soluciones al problema original del SHO eran$|n\rangle\in\mathcal H_{SHO}$tal que:

$$\psi_n(x)\equiv \langle x|n\rangle=\frac1{\sqrt{x_0}\sqrt[4]\pi}\frac1{\sqrt{2^n n!}}H_n(x/x_0)e^{-x^2/2x_0^2}$$ dónde$x_0=\sqrt{\frac\hbar{m\omega}}$es la longitud característica del SHO, y la$H_n(x/x_0)$son los polinomios de Hermite, cuya paridad está definida por$n$de la siguiente manera: $$H_n(0)=\begin{cases} 0\quad(\text{$n$ odd})\\ (-1)^{n/2}\frac{n!}{\left(\frac n2\right)!}\quad (\text{$n$ even}) \end{cases}$$

Entonces, concluimos que solo las soluciones impares del problema anterior pueden satisfacer las nuevas condiciones de contorno, por lo que son los mejores candidatos para construir las nuevas, y podemos definir nuevas funciones propias$|\tilde n\rangle$identificándolos con$|2n+1\rangle$hasta una constante, y en la parte derecha del dominio:

$$\tilde\psi_n(x)\equiv \langle x|\tilde n\rangle=\begin{cases} 0\quad(x<0)\\ \alpha \psi_{2n+1}(x)\quad(x>0)\end{cases}$$ el coeficiente$\alpha$está determinada por la condición de normalización: $$\int_{-\infty}^\infty dx |\tilde\psi_n(x)|^2=|\alpha|^2\int_{0}^\infty dx |\psi_{2n+1}(x)|^2=|\alpha|^2\frac{1}2$$ a partir de la cual tenemos que establecer$\alpha=\sqrt2$(elegir real por convención), de modo que finalmente

$$\tilde\psi_n(x)=\begin{cases} 0\quad(x<0)\\ \sqrt2 \psi_{2n+1}(x)\quad(x>0)\end{cases}$$

Mientras que el espacio de Hilbert del problema SHO fue atravesado por las funciones propias pares e impares, pero en el medio oscilador (HHO en lo siguiente) el espacio de Hilbert se amplió solo por las impares: en particular, los operadores de escalera$a,a^\dagger$como fueron definidos en el SHO, no pueden pertenecer al álgebra de operadores del nuevo espacio de Hilbert, ya que su acción traería un vector$|2n+1\rangle\in\mathcal H_{HHO}$en un$|2n\rangle$o un$|2n+2\rangle$cual$\notin\mathcal H_{HHO}$. No sé si existe una redefinición adecuada, pero tal vez este tema ya se haya estudiado a fondo y la respuesta sea bien conocida.

Para responder a la última pregunta: el medio oscilador es un problema regular de Sturm Liouville, exactamente como lo era el SHO, por lo que sus soluciones (al menos su restricción a lo positivo$x$eje) están garantizados para ser ortogonales y completos (ref., por ejemplo Arfken pág. 386,$7^{th}$edición). Pero tenga en cuenta que no serán un conjunto completo para todas las funciones continuas, definidas en$\mathbb R$: son un conjunto completo solo para el subespacio del espacio de Hilbert$L^2[0,\infty)$formado por las funciones$f(x)$tal que$f(0)=0$.