¿Cuál es el significado físico de los conmutadores en la mecánica cuántica?

Los operadores autoadjuntos ingresan a QM, descritos en espacios complejos de Hilbert, a través de dos formas lógicamente distintas. Esto conduce a un par correspondiente de significados del conmutador.

La primera forma es común con las otras dos posibles formulaciones del espacio de Hilbert (la real y la cuaterniónica): Los operadores autoadjuntos describen observables .

Dos observables pueden ser compatibles o incompatibles , en el sentido de que pueden o no medirse simultáneamente (las medidas correspondientes se perturban entre sí al observar los resultados). Hasta algunos tecnicismos matemáticos, el conmutador es una medida de incompatibilidad , en vista de las generalizaciones del principio de Heisenberg que menciona en su pregunta. En términos generales, cuanto más diferente es el conmutador$0$, más los observables son mutuamente incompatibles. (Piense en desigualdades como$\Delta A_\psi \Delta B_\psi \geq \frac{1}{2} |\langle \psi | [A,B] \psi\rangle|$. Impide la existencia de un vector propio común$\psi$de$A$y$B$- los observables se definen simultáneamente - ya que tal vector propio verificaría$\Delta A_\psi =\Delta B_\psi =0$.)

La otra forma en que los operadores autoadjuntos ingresan al formalismo de QM (aquí las versiones real y cuaterniónica difieren del caso complejo) se refiere a la descripción matemática de simetrías continuas. De hecho, parecen ser generadores de grupos unitarios que representan transformaciones físicas (fuertemente continuas) del sistema físico. Tal transformación continua está representada por un grupo unitario de un parámetro$\mathbb R \ni a \mapsto U_a$. En efecto, un célebre teorema de Stone establece que$U_a = e^{iaA}$para un único operador autoadjunto$A$y todos los reales$a$. Este enfoque para describir transformaciones continuas conduce a la versión cuántica del teorema de Noether solo en vista del hecho (¡claro!) de que$A$ también es un observable .

La acción de un grupo de simetría.$U_a$en un observable$B$se hace explícito por la conocida fórmula en la imagen de Heisenberg:

$$B_a := U^\dagger_a B U_a$$

Por ejemplo, si$U_a$describe las rotaciones del ángulo$a$alrededor de$z$eje,$B_a$es el análogo del observable$B$medido con instrumentos físicos rotados de$a$alrededor$z$.

El conmutador aquí es una evaluación de primer orden de la acción de la transformación en el observable$B$, ya que (nuevamente hasta las sutilezas matemáticas, especialmente con respecto a los dominios):

$$B_a = B -ia [A,B] +O(a^2) \:.$$

Por lo general, la información contenida en las relaciones de conmutación es muy profunda. Al tratarse de grupos de simetrías de Lie , permite reconstruir toda la representación (hay una maravillosa teoría de Nelson sobre este tema fundamental) bajo unas hipótesis matemáticas bastante suaves. Por lo tanto, los conmutadores juegan un papel crucial en el análisis de simetrías.

Me gustaría ampliar un poco la interpretación de los conmutadores como una medida de perturbación (relacionada con la incompatibilidad, como se mencionó en las otras respuestas). Mi interpretación del conmutador es que$[A,B]$cuantifica el grado en que la acción de$B$cambia el valor de la variable dinámica$A$, y viceversa.

Supongamos que$A$es un operador autoadjunto con un espectro discreto no degenerado de valores propios$\{a\}$con automercados asociados$\lvert a\rangle$. Entonces puedes mostrar que, para cualquier operador$B$, existe la siguiente descomposición

$$B = \sum_{\Delta} B(\Delta),$$ tal que $$[A,B(\Delta)] = \Delta B(\Delta),$$ dónde $B(\Delta)$se define a continuación. Viendo el conmutador $[A,.]$como operador lineal, tiene la forma de una ecuación de valores propios. Los valores propios $\Delta$vienen dados por diferencias entre pares de valores propios de $A$, p.ej $\Delta = a'-a$. La forma específica de los operadores propios $B(\Delta)$es $$B(\Delta) = \sum_{a} \langle a+\Delta\rvert B\lvert a\rangle \;\lvert a+\Delta\rangle\langle a\rvert.$$ Esto demuestra que el $B(\Delta)$son "operadores de escalera" que actúan para aumentar el valor de la variable $A$por una cantidad $\Delta$. El conmutador induce así una descomposición natural de $B$en contribuciones que cambian el valor de $A$por una cantidad dada. Un ejemplo sencillo es la bien conocida relación de conmutación entre espín $-1/2$operadores: $$[\sigma^z,\sigma^x] = \mathrm{i}2\sigma^y = +2\sigma^+ - 2\sigma^-.$$ Esto te dice que $\sigma^x$tiene dos partes, que aumentan o disminuyen la proyección de giro sobre el $z$eje por dos "unidades", lo que en este caso significa $\pm 2\times\frac{\hbar}{2} = \pm \hbar$.

En general, el conmutador completo es

$$[A,B] = \sum_{\Delta} \Delta B(\Delta).$$ los $B(\Delta)$son linealmente independientes $^{\ast}$, por lo tanto, el conmutador desaparece solo si $B(\Delta) = 0$para todos $\Delta \neq 0$, es decir, si $B$no cambia el valor de $A$. Si $[A,B]\neq 0$, uno puede obtener una medida de cuánto $B$cambios $A$calculando la norma de Hilbert-Schmidt (al cuadrado) del conmutador: $$\mathrm{Tr}\left\{[A,B]^{\dagger}[A,B]\right\} = \sum_{a,a'}(a-a')^2\lvert\langle a\rvert B \lvert a' \rangle\rvert^2.$$ Esta es la suma de los elementos de la matriz (cuadrados) de $B$que vinculan diferentes estados propios de $A$, ponderado por el cambio correspondiente en los valores propios (al cuadrado). Así que esto cuantifica claramente el cambio en $A$provocado por la aplicación $B$.

Ahora la parte no tan obvia: ¿qué significa "cambiar$A$aplicando$B$"¿significa físicamente? Como señaló Valter, la evolución y las transformaciones en QM se llevan a cabo formalmente aplicando operadores unitarios generados por observables, no aplicando los observables mismos. Esto se relaciona con la descomposición anterior de la siguiente manera. Supongamos que tomamos$A$ser el hamiltoniano$H$. Entonces es sencillo demostrar que la evolución de$B$en la imagen de Heisenberg está dada por

$$B(t) = e^{i H t} B e^{-i H t} = \sum_{\Delta} e^{i\Delta t} B(\Delta),$$ donde aqui $\Delta$son las frecuencias de Bohr del sistema bajo consideración. Los operadores de salto $B(\Delta)$puede interpretarse como los componentes de Fourier de la función con valores de operador $B(t)$. En el contexto de la teoría de perturbaciones, a menudo aproximamos el efecto de la evolución unitaria mediante la aplicación de un operador hermitiano (el hamiltoniano perturbador), en cuyo caso la interpretación de los operadores de salto es clara: describen las transiciones entre estados propios de energía causados ​​por la perturbación $B$. La dependencia del tiempo oscilante finalmente conduce a la conservación de la energía como una condición de coincidencia de frecuencia.

Esta no es una respuesta completa a la pregunta bastante optimista de "¿qué significan físicamente los conmutadores?". Sin embargo, podría proporcionar algo de reflexión para el estudiante curioso.

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^{$^{\ast}$Esto se sigue desde el$B(\Delta)$son ortogonales con respecto al producto interior de Hilbert-Schmidt:}

$$\mathrm{Tr}\left\{ B(\Delta)^{\dagger} B(\Delta') \right\} = \delta_{\Delta,\Delta'} \sum_a \lvert \langle a \rvert B \lvert a+\Delta \rangle \rvert^2,$$ donde el símbolo delta de Kronecker $\delta_{\Delta,\Delta'}$es igual a 1 si $\Delta = \Delta'$, y 0 en caso contrario.

En un nivel básico:

1) si$[A,B]=0$, y si$A$y$B$son generadores infinitesimales de una simetría (así también cantidades conservadas), esto significa que ambos$A$es invariante por$B$, y$B$es invariante por$A$.

Por ejemplo,$[H,J_z]=0$, significa que el momento angular se conserva durante la evolución del tiempo, y que el hamiltoniano es invariante por rotación.

Como dice @Valter Moretti, un conmutador no nulo$[A,B]$mide la desviación de (ambas) simetrías.

2) Conmutadores de tipo$[A, B] = \pm B$, si$A$está asociado a un espectro discreto, significa que$B$es un operador de subida/bajada, con un "$A$-cobrar"$\pm 1$.

Un ejemplo obvio es$[J_z, J_\pm]= \pm J_\pm$

3) Relaciones de conmutación de tipo$[\hat A, \hat B]= i \lambda$, si$\hat A$y$\hat B$son observables, correspondientes a cantidades clásicas$a$y$b$, podría interpretarse considerando las cantidades$I = \int a \,db$o$J = \int b \,da$. Estas cantidades clásicas no se pueden traducir en observables cuánticos, porque la incertidumbre sobre estas cantidades siempre está alrededor$\lambda$.

Por ejemplo,$[\hat x,\hat p] = i \hbar$muestra que no hay ningún cuanto observable correspondiente a la acción$S =\int (\vec p\,d \vec x - E\, dt)$.

Si bien esta explicación no es muy "física" y no es probable que sea útil para un estudiante principiante de QM, creo que toda la física importante contenida en el conmutador en última instancia surge de la fórmula de Zassenhaus.

$$e^{-it \left( \hat{A} + \hat{B} \right)} = e^{-it\hat{A}} e^{-it\hat{B}} e^{\frac{1}{2} it^2 \left[\hat{A}, \hat{B} \right]} \cdots,$$ donde el " $\cdots$" contiene términos cúbicos y superiores en $\hat{A}$y $\hat{B}$y se puede expresar como un producto de exponenciales de combinaciones lineales de conmutadores anidados. si pensamos en $\hat{A}$y $\hat{B}$como operadores hermitianos (que es lo que casi siempre entra en los conmutadores) correspondientes a observables físicos, entonces esta fórmula nos muestra concretamente que su falta de conmutación hace que "interfieran entre sí" de una manera sutil, de modo que sus efectos físicos no pueden estar separado Es decir, la transformación unitaria que genera su suma (por ejemplo, un operador de simetría o de traducción de tiempo) no es simplemente el efecto combinado de cada "pieza" individual del generador actuando sola. Toda la extrañeza de la mecánica cuántica se deriva de este simple hecho. Además, el conmutador es la desviación de orden principal del resultado clásico.

Comencemos con la ecuación de Schrödinger:

$$\mathrm i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi\right> = H\left|\psi\right>$$ Ya que $H$es autoadjunto, esto también implica $$\mathrm -i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left<\psi\right| = \left<\psi\right|H$$ Ahora considere el estado cuántico más general, expresado por una matriz de densidad $$\rho = \sum_k p_k\left|\psi_k\middle>\middle<\psi_k\right|$$ Queremos saber la derivada temporal de la matriz de densidad. Obviamente, la derivada del tiempo es lineal, y también podemos usar la regla del producto para obtener $$\begin{aligned}\frac{\partial\rho}{\partial t} &= \sum_k p_k\left(\left(\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi\right>\right) \left<\psi\right| + \left|\psi\right>\left(\frac{\partial}{\partial t}\left<\psi\right|\right)\right)\\ &= \sum_k p_k\frac{1}{\mathrm i\hbar}\left(H\left|\psi_k\middle>\middle<\psi_k\right|-\left|\psi_k\middle>\middle<\psi_k\right|H\right)\\ &= \frac{1}{\mathrm i\hbar}(H\rho - \rho H)\\ &= \frac{1}{\mathrm i\hbar}[H,\rho] \end{aligned}$$ Entonces ves que aquí el conmutador entra de forma bastante natural.

A continuación, considere un observable$A$, y veamos la dependencia temporal de su valor esperado$\left<A\right>=\operatorname{tr}(A\rho)$.

Usando la linealidad y la invariancia cíclica de la traza, obtenemos

$$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\left<A\right> &= \frac{\partial}{\partial t}\operatorname{tr}(A\rho)\\ &= \operatorname{tr}\left(\frac{\partial A}{\partial t}\rho\right) + \operatorname{tr}\left(A\frac{\partial\rho}{\partial t}\right)\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right>+\frac{1}{\mathrm i\hbar}\operatorname{tr}(A[H,\rho])\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right>+\frac{1}{\mathrm i\hbar}\left(\operatorname{tr}(AH\rho) - \operatorname{tr}(A\rho H)\right)\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right>+\frac{1}{\mathrm i\hbar}\left(\operatorname{tr}(AH\rho) - \operatorname{tr}(HA\rho)\right)\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right>+\frac{1}{\mathrm i\hbar}\operatorname{tr}([A,H]\rho)\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right> + \frac{1}{\mathrm i\hbar}\left<[A,H]\right> \end{aligned}$$ Ahora considere especialmente una cantidad conservada que no depende explícitamente del tiempo (es decir, $\partial A/\partial t=0$). Por supuesto, si se conserva la cantidad, significa que se conserva su valor esperado. La ecuación anterior da inmediatamente $\left<[A,H]\right>=0$, y dado que esto debe ser cierto para arbitraria $\rho$, obtenemos $[A,H]=0$. Es decir, una cantidad conservada conmuta con el hamiltoniano. Tenga en cuenta que todo lo que hemos hecho aquí es barajar el conmutador en la traza.

Ahora echemos un vistazo más de cerca al hamiltoniano. En mecánica clásica, para problemas no relativistas podemos escribir el hamiltoniano como

$$H = \frac{p^2}{2m} + V(x)$$ y obtener la ecuación de movimiento $$\begin{aligned} \dot x &= \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}\\ \dot p &= -\frac{\partial H}{\partial x} = -V'(x) \end{aligned}$$ Ahora intentemos si podemos obtener eso al menos en promedio con la mecánica cuántica. Con la ecuación para promedios, tenemos (ya que ni $x$ni $p$dependen explícitamente del tiempo) $$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\left<x\right> &= \frac{1}{\mathrm i\hbar}\left<[x,H]\right>\\ &= \frac{1}{\mathrm i\hbar}\frac{1}{2m}\left<[x,p^2]\right> + \frac{1}{\mathrm i\hbar}\underbrace{\left<[x,V(x)]\right>}_{=0}\\ &= \frac{1}{2m\mathrm i\hbar}\left(\left<[x,p]p\right> + \left<p[x,p]\right>\right) \stackrel{!}{=} \frac{1}{m}\left<p\right> \end{aligned}$$ Ahora es obvio que obtienes el resultado correcto si $[x,p]=\mathrm i\hbar$. También, $$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\left<p\right> &= \left<[p,H]\right>\\ &= \frac{1}{2m\mathrm i\hbar}\underbrace{\left<[p,p^2]\right>}_{=0} + \frac{1}{\mathrm i\hbar}\left<[p,V(x)]\right> \stackrel!= \left<-V'(x)\right> \end{aligned}$$ No es difícil comprobar que este resultado se obtiene si $p=-\mathrm i\hbar\partial/\partial x$, que también da la relación de conmutación que acabamos de derivar.

Sobre la conexión con las simetrías y las relaciones de incertidumbre, ya obtuviste respuestas (y ya es bastante tarde en la noche), así que me detendré aquí.

Puede ser útil asignar a los estudiantes el siguiente problema HW:

Suponer$A$y$B$ser dos observables

i) ¿Cuál es la condición necesaria para que$A$y$B$se puede medir simultáneamente en un experimento sin ninguna incertidumbre?

ii) Escribe todos los polinomios de segundo grado en$A$y$B$que son de nuevo observables.

iii) Supongamos que A es el hamiltoniano**. El tiempo evoluciona un estado$|\psi\rangle$por un tiempo$t$por debajo$A$, y denote el estado así obtenido como$|\psi(t)\rangle$. ¿Podemos expresar$\displaystyle\frac{d\langle\psi(t)|B|\psi(t)\rangle}{dt}$como$\langle\psi(t)|\mathcal{O}|\psi(t)\rangle$para algunos observables$\mathcal{O}$? Si es así, encuentra$\mathcal{O}$.

** En este problema también podemos tomar$A$ser algún otro generador de simetría que no sea hamiltoniano.

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Añadido más tarde:

• Cuando el conmutador desaparece, los dos observables se pueden medir simultáneamente en un experimento sin incertidumbre (esto se deriva de los axiomas de QM).
• El valor esperado del conmutador$i[H,A]$(donde H es el hamiltoniano) en un estado indica la tasa de cambio en el tiempo del valor esperado de$A$en ese estado. Más generalmente, el valor esperado del conmutador$i[B,A]$en un estado está relacionado con el cambio infinitesimal en el valor esperado de$A$en ese estado, bajo la simetría de un parámetro generada por$B$.
• Para dos observables dados$A$, y$B$, su (i*) conmutador$i[A,B]$y anticonmutador$\{A,B\}$son de nuevo observables. Sin embargo, el conmutador aparece más a menudo en los problemas de QM (y quizás sea más significativo) que el anticonmutador debido a los dos puntos anteriores.