(1−x)y≈e−xy(1−x)y≈e−xy(1-x)^y ≈ e^{-xy}

Question

(1−x)y≈e−xy(1−x)y≈e−xy(1-x)^y ≈ e^{-xy}

Matemáticas
aproximación
teoría de la aproximación
funcion exponencial

Remi.b

Aquí hay una aproximación que veo a menudo en artículos de biología pero que realmente no entiendo:

(1 - X)^{y} \approx {mi}^{- X y}

$(1-x)^y ≈ e^{-xy}$

pienso esto $e^{-xy}$ se aproxima mucho $(1-x)^y$ cuando sea $x$ es pequeño. ¿Puede ayudarme a comprender las condiciones para esta aproximación y por qué esta aproximación es cierta?

Tomas Andrews

La razón básica de esto es que

1 - x \approx e^{- x}

$1-x\approx e^{-x}$ cuando

x

$x$ es pequeño. Entonces

(1 - x)^{y} \approx e^{- x y}

$(1-x)^y\approx e^{-xy}$ .

Respuestas (2)

(1−x)y≈e−xy(1−x)y≈e−xy(1-x)^y ≈ e^{-xy}

La razón básica de esto es que $1-x\approx e^{-x}$ cuando $x$ es pequeño. Entonces $(1-x)^y\approx e^{-xy}$ .

Taladris · Answer 1

Cuando se trabaja con exponentes reales, es útil volver a la definición:

Tenemos $(1-x)^y=e^{y\ln(1-x)}$

pero cuando $x$ es pequeño, $\ln(1-x)\approx -x$ (ya que la tangente a la gráfica $y=\ln(1-x)$ tiene ecuación $y=-x$ ), por lo que para cualquier $y$ y para cualquier $x$ pequeño,

obtenemos $y\ln(1-x)\approx -xy$ .

Usando la continuidad de $\exp$ , obtenemos $(1-x)^y\approx e^{-xy}$ .

usuario63181 · Answer 2

usuario63181

Tenemos por la serie de Taylor

(1 - X)^{y} \sim_{0} 1 - y X

$(1-x)^y\sim_01-yx$ y

{mi}^{- X y} \sim_{0} 1 - X y

$e^{-xy}\sim_0 1-xy$ entonces tenemos la aproximación dada.

Remi.b

traté de encontrar

(1 - x)^{y}

$(1-x)^y$ de expandirse

e^{- x y}

$e^{-xy}$ en serie, pero no me di cuenta de que ambos se expanden a

1 - x y

$1-xy$ . ¡Gracias! ¿Cuál es el significado estricto de

\sim_{0}

$\sim_0$ ? ¿Es "evaluado en

some_variable = 0

$\text{some_variable}=0$ "?

usuario63181

\sim_{0}

$\sim_0$ significa "asintóticamente igual en

0

$0$ " y por ejemplo escribimos

\sin x \sim_{0} x

$\sin x\sim_0 x$ y esto es equivalente a decir

\underset{X \to 0}{límite} \frac{pecado X}{X} = 1

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

antonio vargas

\sim

$\sim$ no es realmente la noción correcta aquí, considerando que también es cierto que

e^{- x y} \sim 1 - 100 x

$e^{-xy} \sim 1 - 100x$ como

x \to 0

$x \to 0$ . Este argumento probablemente debería reelaborarse para usar la notación O.

usuario63181

¡No te entendí!

e^{- x y} \sim 1 - 100 x y

$e^{-xy}\sim 1-100xy$ no es cierto.@AntonioVargas

antonio vargas

Eh... sí lo es. ¿No crees eso?

\underset{X \to 0}{límite} \frac{{mi}^{- X y}}{1 - 100 X y} = 1 ?

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{-xy}}{1-100xy} = 1?$

usuario63181

jaja ¿Trataste de darme un contraejemplo? Ok, la definición que di es la definición preliminar para el novato, pero si estamos familiarizados con este concepto, entonces la definición es

F (X) \sim_{a} gramo (X) ⟺ F (X) - gramo (X) =_{a} o (F (X)) ⟺ \forall ϵ > 0, \exists d > 0, | X - a | < d \Rightarrow | F (X) - gramo (X) | < ϵ | F (X) |

antonio vargas

Si lo tomas

f (x) = e^{- x y}

$f(x) = e^{-xy}$ y

g (x) = 1 - 100 x y

$g(x) = 1-100xy$ entonces

f (x) - g (x) = e^{- x y} - 1 + 100 x y = o (1) = o (e^{- x y}) = o (f (x))

$f(x) - g(x) = e^{-xy} - 1 + 100xy = o(1) = o(e^{-xy}) = o(f(x))$ como

x \to 0

$x \to 0$ , satisfaciendo su definición. Considere mi objeción más de cerca, ya que tampoco soy un novato.

(1−x)y≈e−xy(1−x)y≈e−xy(1-x)^y ≈ e^{-xy}

Remi.b

Tomas Andrews

Respuestas (2)

Taladris

usuario63181

Remi.b

usuario63181

antonio vargas

usuario63181

antonio vargas

usuario63181

antonio vargas

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