Mecánica lagrangiana y derivada temporal en coordenadas generales

Question

Mecánica lagrangiana y derivada temporal en coordenadas generales

usuario1285419

Estoy leyendo un libro sobre mecánica analítica en Lagrangian. Tengo una pequeña idea del método: podemos usar cualquier coordenada y anotar la energía cinética $T$ y potencial $V$ en términos de las coordenadas generales, por lo que el Lagrangiano se da como $L=T-U$ . Por ejemplo, digamos que el Lagrangiano es

L = \frac{metro}{2} {\dot{X}}^{2} + metro b \dot{ϕ} \dot{X} porque ϕ

$L = \frac{m}{2}\dot{x}^2 + mb\dot{\phi}\dot{x}\cos\phi$ aquí

m

$m$ es la masa,

b

$b$ es constante,

x

$x$ y

ϕ

$\phi$ son las coordenadas generales. Como se dice en el texto, para escribir la ecuación de movimiento, tenemos que calcular

\partial L / \partial x

$\partial L / \partial x$ . Mi pregunta es: si enchufamos el

L

$L$ y calcule la derivada de

x

$x$ en

L

$L$ , ¿deberíamos obtener cero? es decir

\frac{\partial {\dot{X}}^{2}}{\partial X} = 0 ?

$\frac{\partial\dot{x}^2}{\partial x} = 0 ?$

si no es cero, ¿qué es eso? y cuál es el significado físico de $\frac{\partial\dot{x}}{\partial x}$ ?

qmecanico

Posible duplicado: physics.stackexchange.com/q/885/2451

Respuestas (4)

Mecánica lagrangiana y derivada temporal en coordenadas generales

joshfísica · Answer 1

Su confusión realmente se reduce a comprender la notación que se usa ampliamente para las derivadas parciales.

Para simplificar, restringiré la discusión a un sistema con un grado de libertad coordinado $x$ . En este caso, el Lagrangiano es una función de valor real de dos variables reales que sugestivamente etiquetamos con los símbolos $x$ y $\dot x$ . Matemáticamente, escribiríamos $L:U\to\mathbb R$ dónde $U\subset \mathbb R^2$ . Consideremos el ejemplo simple

L (X, \dot{X}) = a X^{2} + b {\dot{X}}^{2}

$L(x, \dot x) = ax^2+b\dot x^2$ Cuando escribimos la expresión

\frac{\partial L}{\partial \dot{X}} (X, \dot{X})

$\frac{\partial L}{\partial \dot x}(x, \dot x)$ esta es una instruccion para diferenciar la funcion

L

$L$ con respecto a su segundo argumento (porque etiquetamos el segundo argumento

\dot{x}

$\dot x$ ) y luego evaluar la función resultante en el par

(x, \dot{x})

$(x, \dot x)$ . Pero también podríamos haber escrito

\partial_{2} L (X, \dot{X})

$\partial_2L(x, \dot x)$ Para representar la misma expresión. Ambas expresiones simplemente significan que imaginamos mantener constante el primer argumento de la función, y tomamos la derivada de la función resultante con respecto a lo que queda. En el caso anterior, esto significa que

\frac{\partial L}{\partial \dot{X}} (X, \dot{X}) = 2 b \dot{X}

$\frac{\partial L}{\partial\dot x}(x, \dot x) = 2b\dot x$ porque

x

$x$ etiqueta el primer argumento, y tomar una derivada parcial con respecto al segundo argumento significa que tratamos

x

$x$ como una constante cuya derivada es por lo tanto

0

$0$ . Es en este sentido que el parcial de

x^{2}

$x^2$ con respecto a

\dot{x}

$\dot x$ es cero

Entonces, para recapitular, cuando estamos tomando estos derivados, solo tenemos en cuenta que los símbolos $x$ y $\dot x$ son solo etiquetas para los diferentes argumentos del Lagrangiano.

Sin embargo, podría preguntarse, "si $x$ y $\dot x$ son solo etiquetas, entonces, ¿qué relación tienen con la posición y la velocidad?" La respuesta es que después de haberlos tratado como etiquetas para los argumentos de $L$ para tomar las derivadas apropiadas, luego evaluamos las expresiones resultantes en un $(x(t), \dot x(t))$ , la posición y la velocidad de una curva en el tiempo $t$ , para obtener ecuaciones de movimiento.

Por ejemplo, si tomas el ejemplo de $L$ con el que comencé, obtenemos

\frac{\partial L}{\partial X} (X, \dot{X}) = 2 a X, \frac{\partial L}{\partial \dot{X}} (X, \dot{X}) = 2 b \dot{X}

$\frac{\partial L}{\partial x}(x, \dot x) = 2 ax, \qquad \frac{\partial L}{\partial \dot x}(x, \dot x) = 2b\dot x$ ahora evaluamos estas expresiones en

(x (t), \dot{x} (t))

$(x(t), \dot x(t))$ para obtener

\frac{\partial L}{\partial X} (X (t), \dot{X} (t)) = 2 a X (t), \frac{\partial L}{\partial \dot{X}} (X (t), \dot{X} (t)) = 2 b \dot{X} (t)

$\frac{\partial L}{\partial x}(x(t), \dot x(t)) = 2 ax(t), \qquad \frac{\partial L}{\partial \dot x}(x(t), \dot x(t)) = 2b\dot x(t)$ de modo que las ecuaciones de Euler-Lagrange se convierten en

0 = \frac{d}{d t} [\frac{\partial L}{\partial \dot{X}} (X (t), \dot{X} (t))] - \frac{\partial L}{\partial X} (X (t), \dot{X} (t)) = \frac{d}{d t} (2 b \dot{X} (t)) - 2 a X (t)

$0=\frac{d}{dt}\left[\frac{\partial L}{\partial \dot x}(x(t), \dot x(t))\right] - \frac{\partial L}{\partial x}(x(t), \dot x(t)) =\frac{d}{dt}(2b\dot x(t)) - 2ax(t)$ lo que da

b \ddot{X} (t) = a X (t)

$b\ddot x(t) = a x(t)$ Una vez que comprenda todo esto, puede (y debe) prescindir de la notación prolija que utilicé aquí con fines ilustrativos, y no debe cometer ningún error al usar la notación abreviada en su publicación original.

Kevin Driscoll · Answer 2

Este es un paso poco intuitivo en el formalismo lagrangiano y las ecuaciones de Euler-Lagrange. Tenga en cuenta que está tomando la derivada parcial del Lagrangiano con respecto a alguna coordenada. Estrictamente hablando, cuando tomas una derivada parcial, debes especificar lo que mantienes constante.

Aunque solemos pensar que una coordenada y su derivada temporal están relacionadas, al aplicar el formalismo de Euler-Lagrange variamos las coordenadas generalizadas y las velocidades de forma independiente . Esto significa que

\frac{\partial \dot{q}}{\partial q} = 0, \frac{\partial q}{\partial \dot{q}} = 0,

$\frac{\partial \dot q}{\partial q} = 0, \ \ \frac{\partial q}{\partial \dot q} =0,$ para cualquier coordenada generalizada

q

$q$ .

Entonces, en tu ejemplo, $\big(\frac{\partial L}{\partial x}\big)_{\dot x} = 0$ , En realidad. Aquí, estoy usando los paréntesis para señalar explícitamente que $\dot x$ se mantiene constante.

Estoy confundido por los votos negativos. Mi respuesta no es tan completa como joshphysics, pero dice esencialmente lo mismo. ¿Qué es incorrecto? ¿Cómo podría mejorarlo?
Esta respuesta ofrece un buen comienzo para comprender mejor los frenos de Poisson contra los cuales se encuentra la mecánica hamiltoniana y su continuación con el formalismo de acción angular.

AD-Phys · Answer 3

AD-Phys

Solo agregaré un comentario general sobre la confusión con respecto a las variables independientes.

Un lagrangiano es una función de dos conjuntos de variables independientes: coordenadas generalizadas y velocidades generalizadas. Cuando la solución (es decir, el movimiento) se da bajo un conjunto dado de condiciones iniciales, por supuesto, se establece una relación entre ellas: la velocidad generalizada se conoce cuando se da la coordenada generalizada. Pero eso no significa que estas dos no sean variables independientes. Son tan independientes como dos variables independientes. $x,y$ satisfaciendo un par de ecuaciones lineales simultáneas. Cuando miras una de las ecuaciones, por supuesto, expresas $x$ como una función de $y$ , pero eso no significa que $x$ y $y$ no son variables independientes. De manera similar, cuando los resuelves, conoces los valores numéricos para ambos $x$ y $y$ , eso no significa $x$ y $y$ no son variables, sino números. Aquí, en este caso, $x$ y $\dot{x}$ son independientes en el mismo sentido - en principio, una partícula puede ser en cualquier $x$ , completamente independiente de su velocidad, y viceversa; en general, no dependen entre sí (a diferencia de $x$ y $x^2$ , decir). Pero, por supuesto, cuando los resolvemos y obtenemos una moción $x(t)$ , $\dot{x}(t)$ para un caso particular, se relacionan.

señor. curioso

Gracias por la publicación anterior. Si tenemos un Lagrangiano que tiene

q

$q$ y

q^{2}

$q^2$ , es posible considerar

q

$q$ y

q^{2}

$q^2$ como independientes y relacionarlos como

q_{1} := q

$q_1:=q$ y

q_{2} := q^{2}

$q_2:=q^2$ ? Después de todo, en álgebra lineal

x

$x$ y

x^{2}

$x^2$ se consideran independientes...

AD-Phys

@mr.curious: Gracias por la pregunta, aunque ya la respondí "(a diferencia de

x

$x$ y

x^{2}

$x^2$ , decir)". La palabra independencia no debe usarse sin contexto. En el contexto anterior,

q

$q$ y

q^{2}

$q^2$ son {\ no} independientes. Pero, por ejemplo, en álgebra lineal, si

x

$x$ y

x^{2}

$x^2$ son operadores en un espacio lineal, sus medias no son independientes, pero sí sus momentos superiores. Por lo tanto, son independientes. Aquí estamos hablando de grados de libertad clásicos en dinámica determinista.

señor. curioso

¿Qué pasa si tenemos un Lagrangiano?

a x^{2} + b {\dot{x}}^{2} + c x + d \dot{x}

$a x^2 + b\dot{x}^2 + c x + d \dot{x}$ . ¿Qué me impide volver a etiquetarlos en

x := q_{1}, x^{2} := q_{2}

$x := q_1,x^2:=q_2$ y luego, una vez que se hayan realizado los cálculos, insértelos nuevamente. También puede elaborar un poco más sobre el argumento estadístico que hizo en lo anterior. Me parece un argumento interesante...

AD-Phys

@señor. curioso: si no puede tomar

q_{1} = x

$q_1 = x$ y

q_{2} = x^{2}

$q_2 = x^2$ y llámelas coordenadas generalizadas independientes porque en esta formulación se debe permitir que dos coordenadas independientes tengan variaciones independientes. Por ejemplo, se le debería permitir construir caminos que solo cuiden

q_{1}

$q_1$ y no

q_{2} .

$q_2.$ si uno es

x

$x$ y el otro es

x^{2}

$x^2$ , entonces no puede variarlos de forma independiente.

AD-Phys

No hay argumento estadístico detrás de esto. Solo estaba dando un ejemplo de un contexto donde

x

$x$ y

x^{2}

$x^2$ puede ser independiente. Dije que esto es posible si

x

$x$ no es una variable determinista simple, sino, digamos, es un valor esperado que depende de una distribución. En ese caso,

x

$x$ y

x^{2}

$x^2$ son independientes en el sentido de que sabiendo

x

$x$ no dice que

x^{2}

$x^2$ será. Este no es el caso de las coordenadas generalizadas de un sistema de mecánica clásica. Espero que eso haya saciado tu curiosidad :).

AD-Phys

Lo siento, tal vez fui un poco vago. En lo anterior lo que quise decir es lo siguiente. Dejar

x

$x$ sea un operador, cuyo valor esperado

< x >

$<x>$ depende de una distribución. Entonces

x

$x$ y

x^{2}

$x^2$ son independientes en el sentido de que conocer el valor esperado de uno no indica el valor esperado del otro.

señor. curioso

Gracias, mi curiosidad está saciada :). Sin embargo, todavía tengo un comentario: si tenemos un polinomio simple con números reales, entonces todavía se pueden generar espacios ortogonales con

1 + x + x^{2} + . . .

$1+x+x^2+...$ . y si sabemos

x

$x$ , también sabemos

x^{2}

$x^2$ . Pero podemos abarcar un espacio ortogonal con

1 + x + x^{2}

$1+x+x^2$ como nuestros tres ejes similares a

(x, y, z)

$(x,y,z)$ . Podemos movernos a lo largo de la "

1

$1$ " eje, sin cambiar nada en el "

x

$x$ " eje y podemos movernos a lo largo del "

x

$x$ " eje sin cambiar en el "

x^{2}

$x^2$ " eje. ¿Qué pasa si uno se relaciona

q_{2} = x^{2}

$q_2=x^2$ y lo trata como formalmente independiente y luego lo limita con

q_{2} - x^{2} = 0

$q_2 - x^2=0$ .

AD-Phys

¡Ay! Otro ejemplo más de independencia entre

x

$x$ y

x^{2}

$x^2$ ! En una serie de potencias, por supuesto,

x,

$x,$

x^{2},

$x^2,$ ...

x^{n}

$x^n$ son bases "independientes" de expansión: puede asignar coeficientes de

x^{m}

$x^m$ y

x^{n}

$x^n$ totalmente independiente para construir cualquier polinomio (incluso funciones no polinomiales). Esto solo carga mi advertencia anterior: antes de hablar sobre la independencia de dos entidades, mire el contexto :)

Faraday · Answer 4

Utilice la ecuación de movimiento de Euler-Lagrange .

Su pregunta es precisamente sobre cómo aplicar la técnica de Euler-Lagrange.

Mecánica lagrangiana y derivada temporal en coordenadas generales

usuario1285419

qmecanico

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joshfísica

Kevin Driscoll

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larry harson

AG

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señor. curioso

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señor. curioso

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señor. curioso

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Faraday

Kevin Driscoll

Invariancia de calibre lagrangiano L′=L+df(q,t)dtL′=L+df(q,t)dtL'=L+\frac{df(q,t)}{dt}

Ecuación de Euler-Lagrange con potencial logarítmico

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¿Por qué podemos considerar el punto final fijado en la derivación de la ecuación de Euler-Lagrange en mecánica?

Mecánica lagrangiana - Regla de conmutatividad ddtδq=δdqdtddtδq=δdqdt\frac{d}{dt}\delta q=\delta \frac{dq}{dt}

Principio de acción estacionaria vs Ecuación de Euler-Lagrange

¿Independencia de posición y velocidad en Lagrangiano desde el punto de vista de la física? [duplicar]

¿Por qué las posiciones generalizadas y las velocidades generalizadas se consideran independientes entre sí? [duplicar]

¿La integral en la fórmula de acción con respecto al principio de acción estacionaria representa un área o una longitud?

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