Mecánica lagrangiana - Regla de conmutatividad ddtδq=δdqdtddtδq=δdqdt\frac{d}{dt}\delta q=\delta \frac{dq}{dt}

Se sigue del cálculo. Esta es la forma estándar en que se trata esto (no voy a ser explícito sobre los detalles matemáticos, como las suposiciones de suavidad aquí).

Definicion de$\delta q$.

Dada una ruta parametrizada$q:t\mapsto q(t)$, consideramos una deformación del camino que llamamos$\hat q:(t, \epsilon)\mapsto \hat q(t,\epsilon)$satisfactorio$\hat q(t,0) = q(t)$. El parámetro$\epsilon$es el parámetro de deformación. Ahora podemos definir la variación .$\delta q$del camino$q$como sigue:

$$\begin{align} \delta q(t) = \frac{\partial\hat q}{\partial \epsilon}(t,0) \tag{$\star$} \end{align}$$ Para motivar esta definición, observe que podemos expandir Taylor $\hat q$en el $\epsilon$argumento sobre $\epsilon=0$como sigue: $$\begin{align} \hat q(t,\epsilon) = \hat q(t,0) + \epsilon \frac{\partial\hat q}{\partial\epsilon}(t,0) + O(\epsilon^2) \end{align}$$ que, a la luz de la definición de $\delta q$anterior se puede reescribir como $$\begin{align} \hat q(t,\epsilon) = q(t) + \epsilon\delta q(t) + O(\epsilon^2) \end{align}$$ para que reconozcamos $\delta q(t)$como el coeficiente de Taylor de primer orden de la deformación $\hat q$cuando expandimos en el parámetro de deformación. Tenga en cuenta que algunos autores en física definirán en cambio $\delta q$con un factor adicional de $\epsilon$en el lado derecho de $(\star)$, pero esto es solo una cuestión de convención.

La propiedad de conmutatividad.

Ahora que hemos definido$\delta q$, abordamos la conmutatividad de$\delta$y$t$-derivados. Bueno, ahora que todo es muy explícito, esto es bastante sencillo. Primero, necesitamos notar que$\dot q$es una curva diferente a$q$, entonces necesitamos definir su variación$\delta\dot q$. La forma estándar de hacer esto es inducir esta variación usando la misma deformación.$\hat q$. Es decir, definimos

$$\begin{align} \delta\dot q(t) = \frac{\partial^2\hat q}{\partial \epsilon\partial t}(t,0) \tag{$\star\star$} \end{align}$$ entonces podemos calcular $$\begin{align} \frac{d}{dt}\delta q(t) = \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial\hat q}{\partial \epsilon}(t,0)\right) = \frac{\partial^2\hat q}{\partial t\partial \epsilon}(t,0) = \frac{\partial^2\hat q}{\partial \epsilon\partial t}(t,0) = \delta\dot q(t) \end{align}$$ cual es el resultado deseado.

Cuestiones de naturalidad.

En cierto sentido, las definiciones$(\star)$y$(\star\star)$son arbitrarias, pero sólo en la medida en que cualquier definición es siempre arbitraria porque tenemos que elegirla. Sin embargo, son estándar y bastante físicos si me preguntas.

Para tener intuición para$(\star)$, considerar$\hat q(t,\epsilon)$, e imagina arreglar algunos$t_*$. Entonces a medida que variamos$\epsilon$, obtenemos una curva$\epsilon\mapsto \hat q(t_*, \epsilon)$. La variación$\delta q(t_*)$es la derivada de esta curva con respecto a$\epsilon$evaluado en$\epsilon = 0$, en otras palabras, es su vector tangente en$\epsilon = 0$(piense en la velocidad). Este vector tangente simplemente nos dice la "dirección" en la que la curva original$q$está cambiando en el punto$t_*$a medida que le aplicamos la deformación. Vea el siguiente diagrama (que espero que sea más claro que lo que acabo de decir)

He aquí otra forma de ver que la definición$(\star)$es natural, lo que también muestra por qué$(\star\star)$es natural. En mecánica clásica, a menudo consideramos un sistema descrito por una acción que es la integral de un lagrangiano local;

$$\begin{align} S[q] = \int dt\,L(q(t), \dot q(t), t). \end{align}$$ Ahora, supongamos que queremos determinar qué sucede con $S[q]$cuando deformamos el camino $q$. Usando la notación $\hat q$desde arriba para la deformación, esto equivale a evaluar $S[\hat q(\cdot,\epsilon)]$. Calculemos esta cantidad a primer orden en épsilon. Encontramos eso $$\begin{align} S[\hat q(\cdot, \epsilon)] &= \int dt\, L\left(\hat q(t,\epsilon), \frac{\partial\hat q}{\partial t}(t,\epsilon), t\right) \\ &= S[q] +\epsilon \int dt\left[\frac{\partial L}{\partial q}(q(t), \dot q(t), t)\delta q(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot q}(q(t), \dot q(t), t)\delta \dot q(t)\right] + O(\epsilon^2) \end{align}$$ Me he saltado algunos pasos aquí, pero el punto es que las cantidades $\delta q$y $\delta\dot q$que definimos en $(\star)$y $(\star\star)$surgen naturalmente en el contexto de tomar la variación de un funcional del camino $q$. En particular, la variación de $\dot q$inducida por la variación de $q$como se define en $(\star\star)$es el objeto que surge naturalmente, no alguna otra variación independiente.

Sin embargo, vea la respuesta de Qmechanic a continuación, que señala que en otros contextos, como cuando se usa el principio de D'Alembert, las variaciones$q$y$\dot q$pueden no tener exactamente el mismo significado que tienen en los contextos descritos anteriormente, y en estos contextos no es necesario que se cumpla la regla de conmutatividad.

I) El punto de Ref. 1 es similar a por qué las posiciones generalizadas $q^j$y las velocidades generalizadas$\dot{q}^j$en el lagrangiano$L(q,\dot{q},t)$son variables independientes , consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Una notación menos confusa probablemente sería denotar las velocidades generalizadas$v^j$en vez de$\dot{q}^j$.

Árbitro. 1 se refiere a la posibilidad no conmutativa

$$\tag{1} \delta v^j ~\neq~ \frac{d}{dt}\delta q^j$$

en el contexto del principio de d'Alembert

$$\tag{2} \sum_{i=1}^N(m_i\ddot{\bf r}_i-{\bf F}^{(a)}_i) \cdot \delta {\bf r}_i~=~0,$$

dónde${\bf r}_i$son las posiciones de los$i$'ésima partícula puntual. Aquí$\delta q^j$y$\delta v^j$son variaciones virtuales infinitesimales .

Es consistente permitir una regla no conmutativa (1) en el principio de d'Alembert (2). (De hecho, el principio de d'Alembert, en su forma básica (2), no depende de$\delta v^j$.)

El principio de D'Alembert (2) se puede utilizar, por ejemplo, para probar la ecuación central de Lagrange

$$\tag{3} \sum_j\left( \frac{dp_j}{dt} - \frac{\partial T}{\partial q^j}-Q_j \right) \delta q^j~=~0 , \qquad p_j~:=~\frac{\partial T}{\partial v^j},$$

ya su vez, ecuaciones de Lagrange , sin recurrir al principio de acción estacionaria, cf. siguiente Sección II. Aquí$T$es la energía cinética y$Q_j$es la fuerza generalizada. Ver también, por ejemplo, esta respuesta Phys.SE. referencias 1 y 2 reescriben la ecuación central de Lagrange (3) de la siguiente forma

$$\tag{4} \frac{d}{dt}\sum_j p_j\delta q^j ~=~\underbrace{\delta T}_{\sum_j\left(\frac{\partial T}{\partial q^j}\delta q^j+ p_j~\delta v^j\right)} +\sum_j Q_j~\delta q^j +\sum_j p_j\left[\frac{d}{dt} \delta q^j-\delta v^j\right],$$

ver ec. (1.3.39) en la Ref. 1 o equiv. (6.4.11) en la Ref. 2. Esta forma (4) también implica$\delta v^j$.

II) El apartado I anterior debe contrastarse con la acción funcional

$$\tag{5} S[q] ~:=~ \int_{t_i}^{t_f}dt \ L(q(t),\dot{q}(t),t)$$

y el principio de acción estacionaria . Aquí$q^j:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}$es una ruta (posiblemente virtual). La derivada del tiempo$\dot{q}^j\equiv\frac{dq^j}{dt}$depende de la función$q^j:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$.

Para derivar ecuaciones de Euler-Lagrange a partir del principio de acción estacionaria, usamos la regla conmutativa

$$\tag{6} \delta \dot{q}^j ~=~ \frac{d}{dt}\delta q^j$$

de manera decisiva. La regla conmutativa (4) no es negociable en este contexto, pero se sigue directamente de las definiciones pertinentes de la variación virtual infinitesimal

$$\tag{7} \delta q^j~:=~q^{\prime j}-q^j,$$

$$\tag{8} \delta \dot{q}^j~:=~\dot{q}^{\prime j}-\dot{q}^j ~:=~\frac{dq^{\prime j}}{dt}-\frac{dq^j}{dt} ~\stackrel{\text{linearity}}{=}~\frac{d}{dt}(q^{\prime j}-q^j) ~\stackrel{(7)}{=}~\frac{d}{dt}\delta q^j,$$

entre dos caminos vecinos$q^j$y$q^{\prime j}$.

Referencias:

1. BD Vujanovic y TM Atanackovic, Una introducción a las modernas técnicas variacionales en mecánica e ingeniería , (2004); p.12.

2. AI Lurie, Mecánica Analítica (Fundamentos de Ingeniería Mecánica) , (2002); Sección 1.7.