¿Por qué las posiciones generalizadas y las velocidades generalizadas se consideran independientes entre sí? [duplicar]

A partir de la siguiente definición de$\mathbf{r}_j$en términos de coordenadas generalizadas

es claro que tomando la derivada total con respecto al tiempo, llegamos a la siguiente relación

Pero debido a la aparición de$\dot{q}_k$,$\dot{\mathbf{r}}_{j}$también depende de$\dot{q}_k$. Por lo tanto, tiene sentido tomar derivadas parciales de$\dot{\mathbf{r}}_{j}$Con respeto a$\dot{q}_k$y de la relación anterior, de hecho obtenemos la relación que encuentras.

Mientras$\dot{q}_k$es la derivada temporal de$q_k$, no se puede expresar como una función de la$q_j$. La derivada es un operador, no una función de tuplas de números reales a números reales por lo que no cuenta. Físicamente, se podría decir que la diferencia está en el hecho de que una función real sobre n-tuplas solo involucra información de lo que sucede en ese punto en ese instante específico. Sin embargo, una derivada involucra información sobre lo que sucede en un punto en un instante pero también en un punto diferente un instante infinitesimal antes de eso .

U otra forma de ver esto es que el estado de un sistema clásico está completamente especificado cuando se dan las posiciones y velocidades en un instante . Si solo las posiciones fueran suficientes, las ecuaciones de movimiento serían ecuaciones de primer orden y la derivada del tiempo realmente dependería de las posiciones en un instante, porque estaría totalmente determinada por ellas. Este no es el caso con las ecuaciones clásicas de segundo orden que tenemos para la mayoría de los sistemas clásicos de partículas puntuales.

Si$q$es una función conocida del tiempo, entonces$\dot q$no es independiente Pero antes de escribir y resolver las ecuaciones (antes de encontrar$q(t)$, puede tener variables desconocidas e independientes (como$x$y$y$), que es sugerido por su fuente.