Me gustaría continuar la discusión de mi publicación anterior sobre la dependencia del tiempo del lagrangiano ¿ Dependencia del tiempo del lagrangiano de una partícula libre? . También he leído esta publicación anterior ¿Por qué funciona el cálculo de variaciones?
Creo que entiendo cómo Lagrangian trata la posición y la velocidad como variables independientes desde el punto de vista del cálculo de variaciones. Creo que la velocidad solo trata realmente con el "cambio de posición" y no con la posición en sí, por lo que mi intuición es que esta debería ser una de las razones por las que tenemos que tratar la posición y la velocidad como independientes también desde el punto de vista de la física, y no solo porque el cálculo de variaciones trata a Lagrangian como una función de algunas variables (x, y, z). Incluso el cambio de velocidad solo está relacionado con el cambio de posición en la siguiente relación y no con la posición en sí.
Así que creo que no solo las condiciones iniciales de posición y velocidad son independientes, sino que la posición y la velocidad también lo son a lo largo de cualquier trayectoria. ¿Es por eso que el lagrangiano se define específicamente con posición y velocidad independientes? Además, la posición forma un espacio afín, por lo que no tiene sentido para mí cómo algo puede depender de él a menos que definamos un marco (u origen). Y tratamos a Lagrangian como marco independiente también. Tiene esto algún sentido ? Solo quiero hacer las cosas precisas aquí. Espero que mi mente no esté jugando conmigo aquí.
Gracias
Tu dices
pero la posición y la velocidad también son independientes a lo largo de cualquier trayectoria.
No, una trayectoria se define como una función vectorial dada de lo que sigue . Entonces, dada una trayectoria, la función vectorial depende claramente de como siendo su derivado.
Ahora, olvídate de las trayectorias. tienes una integral
¿Alguien hasta este punto dijo que la integral se toma sobre una trayectoria precisa, una trayectoria conocida? ¡No!
1) Luego elige una hora .
2) ¿Conoces en este momento la función vectorial? ? ¡No! Luego elige al azar un .
3) ¿Sabes por esto? , el ? ¡No! en la posición , el vector puede apuntar en cualquier dirección. Luego elige un vector .
Mediante estas tres selecciones, eligió un segmento de trayectoria que pasa en el momento a través de la posición ang continúa durante un intervalo en la dirección .
Por lo tanto, tiene una infinidad de 7 opciones de trayectorias. Entonces, para resumir, solo si conocías una trayectoria bien definida, eran dependientes de , y ambos en .
De ahora en adelante, recomiendo mirar en su referencia la respuesta de grizzly adam. Puedes ver que el concepto de trayectoria ni siquiera se introduce al comienzo de la prueba de la ecuación EL, solo más tarde.
Sobre marco, sí, se entiende tácitamente, al menos en la mecánica clásica, que tomamos un marco específico. De todos modos, es mejor entender las cosas clásicamente, y solo entonces pasar a la relatividad si es necesario.
qmecanico