Simetrías en Wilsonian RG

  • Quería saber si hay un teorema que al escribir un Lagrangiano si se pierde un término que conserva la simetría (¿Mentira?) de los otros términos y también es marginal, entonces eso necesariamente será generado por el flujo de RG al IR.

    (... como un campo escalar sin masa Lagrangian en 3+1 generará el término de masa como un contratérmino... aunque hay casos como Gross-Neveu (GN) donde la simetría discreta se rompe dinámicamente y no en RG perturbativo y así hay 2 en QFT equivalentes correspondientes al GN Lagrangiano pero la relación entre los dos vacíos no perturbativos vuelve a realizar la simetría discreta..)

  • ¿Se puede hacer una declaración en este sentido en las identidades de Ward? ¿Qué se puede decir en general sobre el destino en el IR de las identidades Ward correspondientes a las simetrías UV?

  • Además, si nada más lo prohíbe, ¿también se garantiza que el flujo de RG hacia el IR produzca todos aquellos términos que son de dimensiones superiores y preservan las simetrías de la teoría UV?

    ¿Vendrán necesariamente dichos términos en la forma O / Λ norte dónde Λ es el corte UV y O un operador de mayor dimensión y norte es tal que todo el término tiene la dimensión marginal. (... y luego puedo interpretar que estos términos efectivos se desvanecen en la UV cuando llevo el corte al infinito...)

  • ¿Y cuántas de las respuestas a lo anterior quedan si uno está haciendo teoría no relativista?

Respuestas (1)

Para empezar, no creo que esto tenga nada que ver con la relatividad. Los mismos principios deberían aplicarse a los sistemas no relativistas en 3D y a las teorías invariantes de Lorentz en 4D.

No sé si mi respuesta te satisfará y no estoy completamente seguro de los detalles, pero lo pensaré en voz alta.

  • Supongamos que el flujo RG generó términos incompatibles con alguna simetría. Entonces, dicho término rompería la identidad de Ward (regla de conservación para el symm), es decir, violaría alguna propiedad de la teoría "más fundamental". Por lo tanto, dichos términos no deben generarse mediante el flujo de RG.

  • Cuando comienza sin un cierto término en su Lagrangiano, está asumiendo que es insignificante en alguna aproximación . No es exactamente cero, pero probablemente tiene un valor pequeño. En ese caso, si es un operador relevante en el IR, su valor aumentará exponencialmente (según su dimensión de escala canónica). Por alguna casualidad, el flujo de RG puede hacer que sea cero en esa escala de energía en particular, pero ese valor no necesita ser un punto fijo del flujo de RG. Con la perspectiva de la integral de trayectoria en mente, podemos decir que cualquier proceso que no esté prohibido debe ocurrir con una pequeña probabilidad. Estos agregarán otras correcciones de bucle (cuánticas) a la función beta , que genéricamente no serán proporcionales al acoplamiento en sí. Tales términos harán aditivoscorrecciones (y no multiplicativas) al acoplamiento y, por lo tanto, empújelo fuera de cero incluso si comenzó en cero. Entonces, el aumento exponencial debido a la dimensión de escala se encargará de aumentarla a algún valor significativo.

Su imagen de los términos siendo de la forma O / Λ norte me parece correcto

Los acoplamientos marginales pueden ser un poco más sutiles, ya que clásicamente no deberían volver a normalizarse. Pero las correcciones cuánticas (bucle) harán que el acoplamiento funcione logarítmicamente con la escala. Esto se llama transmutación dimensional .

Me gustaría mencionar un ejemplo relacionado de simetría de custodia . En los sistemas de materia condensada, la física ultravioleta se describe típicamente mediante una teoría sobre una red. Entonces, la teoría UV solo tiene un subgrupo discreto del grupo de rotación como simetría. ¡Pero en el IR, obtenemos una buena teoría de campo efectivo con simetría rotacional completa ! Para entender esto, veamos la imagen en el espacio de cantidad de movimiento. Para la teoría UV, el (pseudo) impulso puede tomar valores dentro de, digamos, un cubo (suponiendo que nuestra red sea cúbica). Con flujo RG al IR, todos los operadores de dimensión pags 4 o superior son irrelevantes y se vuelven insignificantes. Entonces, solo el operador con dos derivadas ( pags 2 ) sobrevive en el IR, dándonos una simetría rotacional completa. Sin embargo, si no tuviéramos la red cúbica en el UV, podríamos haber tenido términos que rompen la simetría rotacional, lo que se vuelve relevante en el IR. Entonces, una simetría (discreta) en el UV protege una simetría mejorada en el IR. Este fenómeno se llama acertadamente simetría de custodia. La simetría IR mejorada puede no ser exacta, pero se suprimen los términos que rompen esa simetría.

Tenga en cuenta que el ejemplo anterior está en línea con los principios planteados en su pregunta y no dice nada diferente. Acabo de encontrar que es un ejemplo muy bueno, así que espero que me complazcas.

Soy un poco cauteloso al pensar que de alguna manera se garantiza que el flujo RG produzca todos los términos como usted dice y como dije antes. Quiero decir que es cierto que una teoría de campo escalar sin masa libre seguirá siendo así para siempre. Pero a veces las identidades de los Ward pueden ser violadas, ¡eso son anomalías!
También me parece nueva esta interpretación sobre la "transmutación dimensional", ¿es cierto que es genérica para cualquier acoplamiento marginal? - En QCD, calcula la función beta de 1 bucle e intenta integrarla para obtener el flujo del acoplamiento y, en la respuesta, ve que es posible compensar el acoplamiento desnudo y la escala de renormalización en términos de una escala de masa ficticia - que requiere un logaritmo no es obvio a priori- esa es la transmutación dimensional del hombre laico. (... ¡aunque Gross-Nevue realiza transmutaciones dimensionales sin perturbaciones!...)
Si su acoplamiento simple no tiene una escala natural, entonces el operador correspondiente tiene la dimensión canónica como la dimensión del espacio-tiempo. Eso significaría que no se vuelve a normalizar (y es un punto fijo del flujo de RG), o crece logarítmicamente en magnitud. Eso suena como lo que uno hace en QCD. (Si el acoplamiento no se volviera a normalizar, entonces estaría en el punto fijo y su teoría sería conforme). No sé sobre el modelo de Gross-Neveu. Intentaré echar un vistazo a esos dos cálculos y agregaré un comentario pronto.
En respuesta a su primer comentario: 1. Las teorías libres no son buenos prototipos y tampoco son muy interesantes. Las teorías que interactúan son cualitativamente muy diferentes. 2. Si tiene una anomalía, entonces realmente nunca tuvo una simetría, por lo que es posible que se eliminen las restricciones sobre los operadores permitidos.
@Sia (1) En un escenario anómalo, la simetría existe clásicamente pero QFT la rompe. El aspecto difícil es que si la anomalía no existe en una escala de energía, ¡entonces probablemente no exista en ninguna parte! (aparentemente, algún 'teorema de tHooft) - las teorías de interacción sin masa son los buenos ejemplos de anomalía - QFT rompe la invariancia conforme clásica.
(2) No entiendo su punto sobre estos acoplamientos adimensionales. ¿Está diciendo que cualquier acoplamiento marginal necesariamente tendrá una transmutación dimensional/logarítmica? (... por eso, cada acoplamiento de calibre no debería tener transmutación dimensional ... pero creo que es solo QCD que tiene este efecto ...)
¡Creo que estamos haciendo algo básicamente mal! Consulte la página 519 de Weinberg vol-1 (su nota al pie es importante): el argumento en el texto y en la nota al pie parecen explicar de forma independiente que para un operador de gran dimensión/irrelevante a medida que se reduce el límite de UV o la escala de la medida es menor que la escala
entonces el efecto de ese operador es despreciable. Entonces, básicamente, si un operador de alta dimensión no existe en el UV, no puede entrar en el IR por flujo RG.
Simetrías en Wilsonian RG
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v