Satélite GPS - Relatividad Especial

Question

Satélite GPS - Relatividad Especial

Lammey

Estoy pasando por una vieja tarea de relatividad, y me han pedido que calcule la dilatación del tiempo para un satélite que orbita la tierra en 12 horas a 26000 km de la superficie y viaja a una velocidad constante. El radio dado de la Tierra es de 6400 km. En las soluciones, el autor ha calculado que la velocidad recorrida por el satélite es $\dfrac{3.24\times 10^7\times 2\pi}{12\times 3600} \text{ms}^{-1}\simeq 4500 \text{ms}^{-1}$ . Estoy bien con el cálculo (si me equivoqué con los números en alguna parte, no me importa). Con lo que no estoy tan de acuerdo es que procedieron a usar $v=4500$ en la fórmula $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ , que es necesario para calcular la dilatación del tiempo. Hasta donde yo sé, esta fórmula solo es válida para los observadores cuya velocidad relativa es $v$ . Sin embargo, en este caso donde hay un observador en la superficie de la Tierra y un satélite moviéndose en movimiento circular alrededor del centro de la tierra, ¡su velocidad relativa no es constante!

dmckee --- gatito ex-moderador

¿Ha calculado el grado de diferencia (pista: no es trivial pero no particularmente grande)? ¿Ha considerado promediar el mayor y el menor

γ

$\gamma$ que podría estar involucrado? ¿Qué diferencia hay en el resultado final?

Lammey

¡De hecho, me he confundido hasta el punto de no entender mi pregunta original! Ya no estoy convencido de que haya ninguna diferencia, ya que la magnitud relativa de la velocidad es constante. ¡Pero ahora tengo el problema de que no sé a qué diferencia te referías! Perdón por ser tan confuso

dmckee --- gatito ex-moderador

La velocidad relativa puede cambiar. De hecho cambia . Pero incluso en el ecuador, la velocidad del observador es inferior a 500 m/s en relación con el centro de la Tierra, por lo que el rango de velocidades relativas está entre 4000 y 5000 m/s. Calcular el

γ

$\gamma$ para cada uno de ellos y pregúntese si es importante. (Use la aproximación binomial para gamma o una herramienta de cálculo con muchas cifras).

Respuestas (1)

Satélite GPS - Relatividad Especial

¿Ha calculado el grado de diferencia (pista: no es trivial pero no particularmente grande)? ¿Ha considerado promediar el mayor y el menor $\gamma$ que podría estar involucrado? ¿Qué diferencia hay en el resultado final?
¡De hecho, me he confundido hasta el punto de no entender mi pregunta original! Ya no estoy convencido de que haya ninguna diferencia, ya que la magnitud relativa de la velocidad es constante. ¡Pero ahora tengo el problema de que no sé a qué diferencia te referías! Perdón por ser tan confuso
La velocidad relativa puede cambiar. De hecho cambia . Pero incluso en el ecuador, la velocidad del observador es inferior a 500 m/s en relación con el centro de la Tierra, por lo que el rango de velocidades relativas está entre 4000 y 5000 m/s. Calcular el $\gamma$ para cada uno de ellos y pregúntese si es importante. (Use la aproximación binomial para gamma o una herramienta de cálculo con muchas cifras).

Juan Rennie · Answer 1

La dilatación del tiempo debida al movimiento en un círculo, en relación con un observador en el centro, es simplemente la dilatación del tiempo de Lorentz habitual debida a la velocidad del movimiento. Si está interesado, en mi respuesta a ¿Es la dilatación del tiempo gravitacional diferente de otras formas de dilatación del tiempo? Mostré cómo esto se deriva de la métrica.

De todos modos, como dices, la dilatación del tiempo en relación con un segundo observador también en movimiento circular será una función compleja del tiempo a medida que cambia la velocidad relativa de los dos observadores. Sin embargo, puede calcular la dilatación del tiempo para ambos observadores en relación con el centro y luego tomar la relación para obtener la dilatación del tiempo promedio (sobre muchas órbitas) entre sus dos observadores. Si representamos la velocidad del satélite como $v_s$ y la velocidad del observador en la Tierra como $v_e$ , entonces la dilatación temporal del satélite con respecto a la superficie será:

\begin{matrix} (1) & t_{r} = \frac{γ_{mi}}{γ_{s}} = \frac{\sqrt{1 - v_{s}^{2} / C^{2}}}{\sqrt{1 - v_{mi}^{2} / C^{2}}} \end{matrix}

$t_r = \frac{\gamma_e}{\gamma_s} = \frac{\sqrt{1 - v_s^2/c^2}}{\sqrt{1 - v_e^2/c^2}} \tag{1}$

Si intenta este cálculo, encontrará que su calculadora no tiene suficientes cifras significativas para evitar errores de redondeo (bueno, probablemente, al menos la mía no las tiene), pero podemos usar una expansión binomial para aproximar $\gamma$ :

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}} \approx 1 + \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{C^{2}}

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$

o alternativamente:

\frac{1}{γ} \approx 1 - \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{C^{2}}

$\frac{1}{\gamma} \approx 1 - \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$

Ponga estas aproximaciones en la ecuación (1) y obtendrá:

\begin{aligned} t_{r} & \approx (1 + \frac{1}{2} \frac{v_{mi}^{2}}{C^{2}}) (1 - \frac{1}{2} \frac{v_{s}^{2}}{C^{2}}) \\ \approx 1 - \frac{v_{s}^{2}}{2 C^{2}} (1 - \frac{v_{mi}^{2}}{v_{s}^{2}}) \end{aligned}

$\begin{align} t_r &\approx (1 + \frac{1}{2}\frac{v_e^2}{c^2})(1 - \frac{1}{2}\frac{v_s^2}{c^2}) \\ &\approx 1 - \frac{v_s^2}{2c^2}\left(1 - \frac{v_e^2}{v_s^2} \right) \end{align}$

Entonces tenemos un factor de corrección de $1 - v_e^2/v_s^2$ . En su ejemplo, la velocidad del satélite es de 4500 m/s y la velocidad de la parte más rápida de la superficie de la Tierra (en el ecuador) es de 464 m/s, por lo que el factor de corrección es de aproximadamente el 1 %. La dilatación temporal del satélite observada desde el ecuador será aproximadamente un 1% menor que la observada desde el centro de la Tierra.

Gracias por la respuesta clara y detallada! La única parte que no entiendo es por qué la proporción de los dos $\gamma$ factores representa una dilatación de tiempo promedio?
Inventar algunos números para ilustrar, supongamos $1/\gamma_e = 0.8$ para la superficie de la Tierra y $1/\gamma_s = 0.6$ para el satélite. Eso significa que cuando pasan 100 segundos para el observador estacionario, pasan 80 segundos en la Tierra y 60 segundos en el satélite. Entonces, como se ve desde la Tierra, pasan 60 segundos en el satélite durante 80 segundos en la Tierra, y la dilatación del tiempo es, por lo tanto, 60/80, que es simplemente $\gamma_e/\gamma_s$ .

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Lammey

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Juan Rennie

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