¿Cómo debo pensar acerca de la ecuación de Dirac?

En QFT Vol. de Weinberg. 1 dice que la ecuación de Dirac no es una verdadera generalización de la ecuación de Schrödinger, que no resiste la inspección cuando se la ve bajo esta luz. Él dice que debe verse como una aproximación a una verdadera teoría relativista de campos cuánticos de fotones y electrones.

  • No entiendo lo que esto significa, ¿a alguien le importaría informarme? (Suponiendo que esté diciendo algo más general y sutil que simplemente decir que Dirac no es una ecuación de una partícula)

Una de las motivaciones de Dirac para su derivación fue que Klein-Gordon no era de primer orden en el tiempo como lo es la ecuación no relativista de Schrödinger.

  • Dado que la ecuación de Klein-Gordon de segundo orden en el tiempo en realidad describe algo físico, ¿significa esto que el punto de Dirac acerca de no ser de primer orden en el tiempo es realmente defectuoso, y que la ecuación de Dirac funcionó por alguna otra razón?

Al navegar por el libro de Spinor de Cartan, parece que la ecuación de Dirac se cumple para cualquier espinor, aparentemente relaciona las representaciones izquierda y derecha de un espinor o algo así, por lo tanto, se cumple en GR, etc. También está esta gran cita de Atiyah que un espinor es un raíz cuadrada de una geometría.

  • ¿Qué es la ecuación de Dirac y cómo explica por qué funcionó la derivación de Dirac, por qué relaciona las representaciones de un espinor y explica esta raíz cuadrada de un negocio de geometría?
Debería considerar dividir esta pregunta, que puede ser demasiado amplia en este momento, en preguntas separadas, cada una de las cuales cubre una (quizás 2) subpreguntas de la pregunta actual.
Weinberg también dice en la Introducción de sus Lectures on QM: "hay un tema que no lamenté saltarme: la onda relativista eq. de Dirac. Me parece que la forma en que esto se presenta generalmente en los libros sobre QM es profundamente errónea". ". Dirac pensó que su eq. fue una generalización relativista de Schrödinger [...]. La forma correcta de combinar relatividad y QM es a través de QFT, en la que la función de onda de Dirac aparece como el elemento de matriz de un campo cuántico entre un estado de una partícula y el vacío [...]". Nunca entendí lo que quería decir, tal vez respondiendo a tu pregunta esto se pueda explicar.

Respuestas (1)

'Raíz cuadrada de la geometría'

Un campo de espinor de Dirac ψ α ( X ) bajo transformaciones de Lorentz se comporta como,

ψ α ( X ) → S [ Λ ] β α ψ β ( Λ − 1 X )

dónde Λ = Exp ⁡ ( 1 2 Ω ρ σ METRO ρ σ ) y S [ Λ ] = Exp ⁡ ( 1 2 Ω ρ σ METRO ρ σ ) , dónde METRO son los generadores de las transformaciones de Lorentz; son antisimétricas y obedecen al álgebra de Lorenz Lie. las matrices S satisfacen la representación del espinor del grupo de Lorenz (¡ejercicio!), y están definidos por,

S m v = 1 4 [ γ m , γ v ]

Una matriz de rotación general que actúa sobre un espinor se puede escribir como,

( mi i φ ⋅ σ / 2 0 0 mi i φ ⋅ σ / 2 )

Una rotación por 2 π , es decir, una vuelta completa, alrededor de la X 3 eje está dado por la elección φ = ( 0 , 0 , 2 π ) , y la matriz de rotación se convierte en,

( mi i π σ 3 0 0 mi i π σ 3 ) = − 1

Por lo tanto, bajo una vuelta completa, un espinor se transforma como, ψ α ( X ) → − ψ α ( X ) , en otras palabras, no vuelve a su estado original. Por eso los llamamos la 'raíz cuadrada de la geometría'. De hecho, debe rotarlos completamente dos veces en lugar de una.

¿Eso es todo? En la charla de Atiyah "Qué es un espinor" en youtube youtube.com/watch?v=SBdW978Ii_E , tuve la impresión de que era mucho más que eso, lo que estás diciendo está más relacionado con las estadísticas de espín al estilo de Finkelstein books.google.ie /… (mencionado alrededor del minuto 50 en este video de Susskind en términos de cinturones: p.theoryminimum.com/courses/advanced-quantum-mechanics/2013/… ) que es otra pregunta que puedo plantear.
@bolbteppa: Hay más, pero no puedo responder en este momento en mi teléfono. Intentaré comunicarme contigo en algún momento esta noche.
@JamalS: Me interesaría más saber qué más podrías haber dicho.
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