el vector$\hat \varphi$no está definida en el origen, porque la transformación de coordenadas

el teorema de que

La singularidad, por supuesto, surge porque tienes un cable infinitamente delgado. Intente encontrar el campo magnético para un alambre de espesor$R_1$con densidad de corriente uniforme y tomando el límite de$R_1 \to 0$mientras que la corriente total permanece constante. El enrollamiento será cero fuera del alambre, pero divergirá dentro del alambre, como dictan las ecuaciones de Maxwell.

Ya hay muy buenas respuestas, por lo que me gustaría dar una intuición física de por qué este campo vectorial no tiene rizos a pesar de que tiene una circulación distinta de cero.

Podemos hacer una analogía del rizo con una rueda de paletas infinitesimalmente pequeña en un flujo de fluido. Pensamos en el campo vectorial como un flujo de fluido y la rueda de paletas juega el papel del rizo. La dirección del rizo viene dada por el eje de la rueda de paletas y por la regla de la mano derecha. La magnitud del rotacional está asociada a la velocidad angular de la rueda de paletas.

Si colocamos la rueda de paletas en un fluido que fluye de acuerdo con el campo vectorial dado, el fluido empujará las paletas como se muestra en la figura a continuación.

El campo vectorial es fuerte en la paleta inferior (más cerca del centro) y más débil en la superior. El resultado neto de estas dos paletas sería girar en el sentido de las agujas del reloj. Sin embargo, el fluido también empuja la paleta izquierda hacia abajo y la paleta derecha hacia arriba. Esta rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj cancela exactamente la rotación en el sentido de las agujas del reloj de la paleta superior e inferior y el resultado neto es que la rueda de paletas no gira. Este campo vectorial no tiene rotaciones aunque claramente tiene una circulación distinta de cero.

Esa fórmula es válida fuera del cable, donde$J=0$. La ecuación de Maxwell dice que$\nabla \times B = 0$allá.

Sin embargo, no existe un campo escalar cuyo gradiente sea$B$alrededor del alambre. Este es el caso típico donde tienes un campo irrotacional que no admite un potencial (global). De lo contrario, la integral de$B$alrededor del alambre sería cero y esto no está permitido por una de las leyes de Maxwell en forma integral.

Dentro del alambre si$J$es uniforme,$I$incluye sólo la porción de corriente rodeada por la línea considerada de$B$, entonces depende de$r$, es decir,$I=I(r)$y la fórmula cambia produciendo$\nabla \times B \neq 0$.

1. campo magnético de OP

   $$\vec{B}~=~\frac{k }{\rho}\hat{\boldsymbol \varphi}, \qquad \rho~\neq~ 0,\tag{1}$$ en coordenadas cilíndricas $(\rho,\varphi,z)$obedece (en un sentido distribucional ) la ley del circuito de Ampere (ACL): $$\mu_0 \vec{J}~\stackrel{(ACL)}{=}~ \vec{\nabla}\times \vec{B}~\stackrel{(1)}{=}~2\pi k ~\delta^2(x,y)\hat{\bf z},\tag{2}$$ con la densidad de corriente dada por una distribución delta de Dirac 2D . La forma integral de la ec. (2) conduce a $$\mu_0 I~\stackrel{(2)}{=}~2\pi k.\tag{3}$$

2. Una forma rápida de comprobar la segunda igualdad en la ec. (2) es regularizar el campo magnético

   $$\vec{B}_{\varepsilon} ~=~\frac{k\rho }{\rho^2+\varepsilon }\hat{\boldsymbol \varphi},\tag{1'}$$ $$\mu_0 \vec{J}_{\varepsilon}~\stackrel{(ACL)}{=}~ \vec{\nabla}\times \vec{B}_{\varepsilon}~\stackrel{(1')}{=}~\frac{2k\varepsilon }{(\rho^2+\varepsilon)^2}\hat{\bf z},\tag{2'}$$ $$\mu_0 I_{\varepsilon}~\stackrel{(2')}{=}~\int_0^{\infty} 2\pi \rho~\mathrm{d}\rho ~\frac{2k\varepsilon }{(\rho^2+\varepsilon)^2} ~=~2\pi k,\tag{3'}$$ con un regulador$\varepsilon>0$, y tomar el límite$\varepsilon\to 0^+$. Una prueba de distribución rigurosa utiliza funciones de prueba similares a, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .