¿Puede un campo vectorial estático no conservativo tener potencial escalar?

no puedes definir$\mathbf F$como el gradiente de un potencial escalar a menos que sea conservativo. Si la restricción de$\mathbf F$a un dominio particular es irrotacional (es decir,$\nabla\times\mathbf F = 0$en todas partes en ese dominio) y el dominio está simplemente conectado , entonces la restricción de$\mathbf F$a ese dominio es conservativo y se puede expresar como el gradiente de un potencial escalar. Sin embargo, aún puede definir un potencial escalar incluso en el caso de que$\mathbf F$es no conservador. Por el teorema de Helmholtz , se puede decir$\mathbf F = -\nabla \Phi + \nabla \times \mathbf A$, dónde$\Phi$es el potencial escalar y$\mathbf A$es el vector potencial . La idea básica de esto es que$\mathbf F$se puede descomponer en una parte irrotacional$(-\nabla\Phi)$y una parte libre de divergencia$(\nabla\times\mathbf A)$, donde es campo conservativo se refiere al caso donde la parte libre de divergencia es cero.

En el ejemplo que has dado,$\nabla\times\mathbf H$es cero fuera del cable, pero distinto de cero dentro del cable. La ley de Maxwell-Ampère se cumple en todas partes, no solo en la superficie del cable, y si usa su forma integral para evaluar la integral de línea, es fácil ver que es distinta de cero. Como$\mathbf H$es no conservativo, no puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, porque eso no incluye la parte libre de divergencia. Esto se debe a que, mientras$\mathbf H$es irrotacional fuera del alambre, el conjunto de puntos fuera del alambre no es simplemente conexo. Otra forma de ver esto es que mientras la densidad de corriente es cero fuera del cable, el potencial del vector magnético no lo es, por lo que es el$\nabla\times\mathbf A$término que da origen al campo magnético fuera del alambre. (Nota:$\mathbf A$se utiliza tradicionalmente para referirse al potencial vectorial correspondiente a la$\mathbf B$campo, pero aquí lo uso para referirme al vector potencial de$\mathbf H$.)

DECLARACIÓN #3 Si un campo vectorial estático$\mathbf F$se define en todas partes, entonces si obtenemos$\operatorname{curl}(\mathbf F)=0$entonces podemos decir que 𝐅 es un campo vectorial conservativo estático.

Supongo que cuando dices$\mathbf F$se define en todas partes, quiere decir que su dominio es todo$\mathbb R^n$para algunos$n$(generalmente 2 o 3). Asumiendo que$\operatorname{curl}(\mathbf F)$también se define en todos$\mathbb R^n$y desaparece por todas partes, entonces esta afirmación es correcta porque$\mathbb R^n$simplemente está conectado. Sin embargo, tenga en cuenta que este es un caso bastante limitado: a menudo modelamos campos magnéticos en dominios restringidos que no satisfacen esta propiedad.

DECLARACIÓN # 4 (Creo que esta es la declaración incorrecta) para un campo de vector estático$\mathbf A$, si conseguimos$\operatorname{curl}(\mathbf A)=0$, entonces podemos llegar a una conclusión sobre$\operatorname{curl}(\mathbf A)$será cero sólo para la región donde$\mathbf A$se define.

Esta afirmación es incorrecta porque no tiene sentido. ¿Qué significa para$\operatorname{curl}(\mathbf A)$ser cero o no en una región donde$\mathbf A$¿no está definido? El dominio de definición de$\operatorname{curl}(\mathbf A)$es un subconjunto del dominio de definición de$\mathbf A$, y solo tiene sentido hablar de un campo vectorial y sus propiedades en el dominio en el que se define.

DECLARACIÓN #4" (Corrección en esa declaración) Si un campo vectorial 𝐀 no está definido en todas partes, entonces no podemos concluir nada acerca de que el campo sea rotacional o irrotacional solo en base a que el rotacional de ese campo es cero o distinto de cero.

Esto es incorrecto. Un campo vectorial continuamente diferenciable definido en algún dominio abierto$U$se llama irrotacional si su rotacional desaparece en todos los puntos de$U$. El hecho de que$U\neq \mathbb R^n$en general es irrelevante.

¿Significa esto que 𝐅 será un campo vectorial conservativo estático para la región donde 𝐅 está definido y curl(𝐅)=0?

No. Esto es cierto solo si la región$U$en la que$\mathbf F$se define es simplemente conexo . Si$U$no está simplemente conectado, entonces generalmente podrá escribirlo como el gradiente de un potencial escalar en parches , pero no puede hacerlo para todos$U$.

Como ejemplo, considere el campo vectorial

definido en$U = \left\{(x,y)\in\mathbb R^2 : x^2+y^2>1 \right\}$. Esto es lo que el campo magnético fuera de un alambre de radio$r=1$parece.

Porque$U$no es simplemente conexo, no podemos encontrar un campo escalar$\phi$definido en todos$U$tal que$\mathbf F = \nabla \phi$, a pesar de que$\operatorname{curl(\mathbf F)}$es cero en todos$U$(eso es,$\mathbf F$es irrotacional).

Dicho esto, considere el dominio$V=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2>1\text{ and }y>0\right\}$, que es un subconjunto de$U$.

Este dominio es simplemente conexo, porque cualquier camino cerrado en$V$se puede reducir a un punto sin dejar$V$, Lo que significa que$\mathbf F$prohibido para$\mathbf V$es conservador. Por lo tanto, podemos encontrar algún campo escalar$\phi$definido en$V$tal que$\mathbf F\big|_{V} = \nabla \phi$. Puedes verificar que

nos da el campo que estamos buscando. También notamos (como por supuesto debemos) que este campo no se puede definir en todos los$U$, porque$U$incluye puntos para los cuales$y=0$.

Además, incluso si tuviéramos que utilizar el más general$\varphi=-\tan^{-1}(x,y)$que simplemente asigna un ángulo$\theta\in(-\pi,\pi]$a cada punto$(x,y)\neq (0,0)$, esto todavía no funciona en todos$U$porque no es continua (y por lo tanto no diferenciable) a lo largo de la negativa$x$-eje.

Tu pregunta es demasiado larga para que la lea entera. Pero es útil tratar un campo magnético, cuyo rotacional no es cero, como el gradiente de un potencial escalar magnético. Solo debe tener cuidado de usar el potencial solo en una región donde el rotacional es cero.