¿Cómo rotas el espín de un electrón?

Has caído presa de una simplificación popular de los espinores. La afirmación "tienes que girar el electrón 720 grados para obtener el mismo estado de espín" no se refiere a una rotación real de un electrón real .

En mecánica cuántica, describimos los estados de los objetos como elementos de un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$. Lo crucial es que no todos los elementos de este espacio representan estados físicamente diferentes - si tenemos dos elementos$\phi$y$\psi$y están relacionados de tal manera que uno puede obtenerse del otro multiplicándolo por cualquier número complejo$c$, es decir$\phi = c\psi$, entonces son el mismo estado.

Esto es análogo a dos flechas con diferentes longitudes que apuntan en la misma dirección y describen la misma dirección. Solo la dirección del elemento espacial de Hilbert tiene un significado físico inmediato, no la longitud (aunque no es completamente irrelevante, las "fases" juegan un papel, pero esto no es relevante aquí).

Ahora, resulta que hay dos formas diferentes de cómo tales elementos de un espacio de Hilbert pueden comportarse bajo una rotación completa por$2\pi$- o se quedan igual,$\psi \overset{2\pi}{\mapsto} \psi$, o cambian de signo,$\psi \overset{2\pi}{\mapsto} -\psi$. Pero$-1$es solo un número complejo, entonces$\psi$y$-\psi$son el mismo estado, y una rotación por$2\pi$no cambia ningún estado en absoluto .

Los objetos cuyos estados permanecen iguales se denominan bosones y tienen un "espín entero", los objetos cuyos estados cambian de signo se denominan fermiones y tienen un "espín medio entero".

La esfera de Bloch a la que te refieres no es el espacio de Hilbert de un sistema, sino el espacio proyectivo de Hilbert . El espacio de Hilbert proyectivo se obtiene simplemente identificando todos los vectores en el espacio de Hilbert que se encuentran en el mismo rayo (= tienen la misma dirección = son múltiplos complejos entre sí).

De este modo,$\psi$y$-\psi$son el mismo punto en un espacio proyectivo, por lo tanto en particular en la esfera de Bloch, y un$2\pi$la rotación no hace nada en un espacio proyectivo de ninguna manera, como debería, ya que cada punto del espacio proyectivo es un estado físicamente distinto.

Mi explicación se basa en el libro Modern Quantum Mechanics de Sakurai (Sec 3.2 sobre interferometría de neutrones). He tomado la constante de Planck y$c$(velocidad de la luz) sea 1.

El operador de rotación clásico sobre una dirección$\hat{n}$sobre un ángulo es

$D(\hat{n}, d\phi) = 1- i (\vec{J}.\hat{n}) d\phi$,

lo que sugiere que para giros, debe ser

$D(\hat{n}, d\phi) = 1- i (\vec{S}.\hat{n}) d\phi$,

lo que conduce a la versión de ángulo finito del operador de rotación sobre el eje z como

$D( \hat{z}, \phi) = \mathrm{exp} (-i S_z \phi)$.

Ahora, consideremos que el espacio está lleno de un campo magnético.$\vec{B}$apuntando en la dirección z para que se pueda ver fácilmente que el hamiltoniano es (si recuerda las lecciones de electrodinámica clásica)

$H = - \omega S_z$,

con

$\omega = e B/(m_e)$,

lo que significa que el operador de evolución temporal para este hamiltoniano se convierte en

$U(t) = \mathrm{exp} (-i H t) = \mathrm{exp} (-i S_z \omega t)$,

que se puede ver al igual que$D( \hat{z}, \phi)$con$\phi = \omega t$.

Entonces, aquí está el punto para llevar a casa. Un electrón mantenido en un campo magnético que apunta en la dirección z sigue girando continuamente alrededor de la dirección z (la dirección de$\vec{B}$) a medida que pasa el tiempo (desde$\phi= \omega t$). No podemos rotar el espín del electrón de la manera estándar antigua en la que rotamos mesas y sillas moviéndolas.

De hecho, se ha comprobado experimentalmente que una rotación por$2 \pi~(4 \pi)$da el negativo de (igual que) el estado original, usando interferometría de neutrones. Consulte el libro mencionado anteriormente para obtener una explicación teórica más rigurosa y la mención de este experimento.

En realidad, puedes hacer una rotación real de una partícula de espín-1/2 y ver el cambio. Se ha hecho en 1975 con interferómetros de neutrones:

https://www.nature.com/nature/journal/v294/n5841/abs/294544a0.html