¿Por qué el momento dipolar eléctrico (EDM) del electrón debe estar siempre alineado con el espín?

Como se explica en los comentarios, esto se debe al Teorema de Wigner-Eckart . Esto es un poco difícil de asimilar, pero lo que realmente dice es que si tiene un sistema mecánico cuántico con características direccionales bien definidas (en el sentido de que está en un estado con un momento angular bien definido ), y está estudiando las propiedades de un observable que tiene algún tipo de direccionalidad (como, digamos, un operador de valor vectorial como el momento dipolar eléctrico), entonces hay algunas restricciones estrictas sobre cómo la orientación del observable y el la orientación del estado puede interactuar.

Eso es lo mejor que puedo resumir sin volverme inmediatamente más técnico. Entonces, después de haber agitado un poco las manos, y dado que lo único que puedo hacer es ser técnico, supongo que lo haré.

Más específicamente, para usar el teorema de Wigner-Eckart necesitas tener:

• un sistema en un estado de momento angular$|\ell m\rangle$, y
• un observable que "se transforma como un tensor esférico", es decir, un conjunto de$2k+1$observables$T_{-k}^{(k)}$,$T_{-k+1}^{(k)}$,$\ldots$,$T_{k-1}^{(k)}$,$T_{k}^{(k)}$, cuyo conjunto de transformaciones lineales es cerrado bajo rotaciones espaciales, y que siguen las mismas reglas bajo rotación que los armónicos esféricos$Y_{kq}$.
  • Un ejemplo explícito ayuda: los operadores vectoriales se ajustan a esa factura, con$k=1$, configurando$T_{0}^{(1)}=v_z$y$T_{\pm1}^{(1)}=\frac{1}{\sqrt{2}}(v_x\pm i v_y)$(hasta un cartel).

Una vez que tenga eso, entonces el teorema dicta que el valor esperado de su operador en ese estado,

$$\langle \ell m'|T_{q}^{(k)}|\ell m\rangle,$$ (posiblemente incluyendo una transición a alguna otra orientación$m'$), se dividirá en

• una parte "significativa", denotada por$\langle \ell ||T^{(k)} ||\ell \rangle$, que depende de en qué representación viven el estado y lo observable, es decir, en$\ell$y$k$, pero no en la "orientación" específica, es decir, en el componente específico$q$del observable que estás preguntando, o la orientación$m$del estado, y que lleva toda la información dinámica verdadera sobre el valor esperado; y
• un factor que codifica toda la dependencia de la orientación$m$y$m'$y en la elección de la componente del observable$q$, conocido como coeficiente de Clebsch-Gordan y denotado$\langle \ell m' kq|\ell m\rangle$, pero sin saber qué$T$en realidad es.

Si pones todo eso junto para tu operador$T_{q}^{(k)}$, se lee como la ecuación

$$\langle \ell m'|T_{q}^{(k)}|\ell m\rangle = \langle \ell m' kq|\ell m\rangle \: \langle \ell ||T^{(k)} ||\ell \rangle .$$ Entonces, especialicemos esto a algún operador vectorial$v$, como un momento dipolar eléctrico, para una partícula de espín-1/2, dando $$\langle \tfrac12 m'|v_q|\tfrac12 m\rangle = \langle \tfrac12 m' 1q|\tfrac12 m\rangle \: \langle \tfrac12 ||v ||\tfrac12 \rangle ,$$ y comparemos eso con cómo se comporta el momento angular en este contexto: $$\langle \tfrac12 m'|S_q|\tfrac12 m\rangle = \langle \tfrac12 m' 1q|\tfrac12 m\rangle \: \langle \tfrac12 ||S||\tfrac12 \rangle ,$$ dónde$\langle \tfrac12 ||S||\tfrac12 \rangle$es una constante numérica.

Con esto, ahora tenemos suficientes herramientas para abordar el reclamo tal como lo planteó:

el momento dipolar eléctrico del electrón (EDM) tiene que ser colineal con el espín.

Lo que esto realmente significa es que, en lo que respecta a la orientación, nuestro operador vectorial es prácticamente indistinguible del espín, es decir

$$\langle \tfrac12 m'|v_q|\tfrac12 m\rangle = \frac{ \langle \tfrac12 ||v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 ||S||\tfrac12 \rangle } \langle \tfrac12 m'|S_q|\tfrac12 m\rangle .$$ O, multiplicando por los vectores base$\hat{\mathbf e}_q$y resumiendo$q$, podemos recuperar el carácter vectorial de nuestra ecuación: $$\langle \tfrac12 m'|\mathbf v|\tfrac12 m\rangle = \frac{ \langle \tfrac12 ||v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 ||S||\tfrac12 \rangle } \langle \tfrac12 m'|\mathbf S|\tfrac12 m\rangle ,$$ que simplifica a $$\mathbf v = \frac{ \langle \tfrac12 || v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 || S ||\tfrac12 \rangle } \mathbf S$$ como un operador de igualdad, ya que los elementos de la matriz que considera abarcan una base para el espacio. Y eso pone en contexto lo que significa la afirmación: formalmente hablando, no son "paralelos" como tales, sino para todos los elementos de matriz medibles que importan, y para todos los componentes posibles (o combinaciones lineales de componentes), los dos operadores dan el mismo resultado módulo una constante multiplicativa. Dado que esa es una declaración de paralelismo tan fuerte como la que se puede hacer en la mecánica cuántica sobre dos operadores vectoriales (que, genéricamente, ni siquiera conmutarán), entonces simplemente tomamos eso tal como está y mantenemos la afirmación en su forma simplificada, que es más fácil de recordar.

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Habiendo dicho todo eso, sin embargo, hay más que puedes decir sin ser tan técnico, al menos en el caso común de spin-$1/2$sistemas, y de hecho sin invocar el teorema de Wigner-Eckart en absoluto. Más específicamente, considere la siguiente observación observación:

Para un giro-$1/2$sistema en un estado puro arbitrario$|\psi\rangle$, siempre hay una dirección$\hat{\mathbf n} \propto \langle\psi| \mathbf S |\psi\rangle$tal que el estado$|\psi\rangle$es un estado propio de la componente de espín$S_{\hat{\mathbf n}}={\mathbf S}\cdot\hat{\mathbf n}$a lo largo de esa dirección, con valor propio$+1/2$.

Esto es relativamente fácil de mostrar a través de una variedad de rutas, pero la parte más importante es que es falso para cualquier giro más alto. (Como ejemplo el$m=0$de un giro-$1$El sistema nunca será un$m=+1$estado propio de cualquier otra orientación del eje, y cualquier estado$a|m=1\rangle+b|m=-1\rangle$con pesos desiguales distintos de cero$|a|\neq |b|\neq 0$está excluido de ser un estado propio de cualquier componente del espín del sistema).

Además, esa observación tiene algunas consecuencias directas:

• El estado$|\psi\rangle$es por lo tanto rotacionalmente invariante alrededor del eje$\hat{\mathbf n}$.
• Eso significa que los dos componentes de${\mathbf S}$ortogonal a$\hat{\mathbf n}$deben tener valores esperados que se desvanecen, o romperían la invariancia rotacional.
• Lo mismo es cierto para cualquier operador vectorial$\mathbf v$.

En otras palabras, eso es suficiente para concluir que

$$\langle\psi| \mathbf v |\psi\rangle \propto \langle\psi| \mathbf S |\psi\rangle$$ para todos los estados$|\psi\rangle$, y de hecho podemos ir más allá y concluir que la constante de proporcionalidad$K$en esa relación debe ser independiente de$|\psi\rangle$, porque todos los estados (en spin$1/2$) son unitariamente equivalentes a través de una rotación de los ejes de coordenadas. Poniendo alguna notación conveniente para esa constante de proporcionalidad, obtenemos que $$\langle\psi| \mathbf v |\psi\rangle = \frac{ \langle \tfrac12 || v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 || S ||\tfrac12 \rangle } \langle\psi| \mathbf S |\psi\rangle$$ para todos los estados$|\psi\rangle$.

Ahora, eso no es suficiente para concluir que$\mathbf v\propto \mathbf S$como operadores, como concluimos en la rigurosa sección de Wigner-Eckart anterior, pero la identificación completa del operador no está tan lejos: para obtenerla, simplemente tiene que hacer lo que hace con las identidades de polarización y considerar las ecuaciones múltiples que obtiene cuando tu reemplazas$|\psi\rangle$con algún otro estado arbitrario$|\phi\rangle$así como con las diversas superposiciones$|\psi\rangle \pm |\phi\rangle$y$|\psi\rangle \pm i|\phi\rangle$, y obtendrás suficientes ecuaciones para concluir que

$$\langle\phi| \mathbf v |\psi\rangle = \frac{ \langle \tfrac12 || v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 || S ||\tfrac12 \rangle } \langle\phi| \mathbf S |\psi\rangle$$ para todos los estados$|\psi\rangle$y$|\phi\rangle$, y por lo tanto que $$\mathbf v = \frac{ \langle \tfrac12 || v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 || S ||\tfrac12 \rangle } \mathbf S$$ como operadores en ese spin-$1/2$espacio, completando esta segunda versión de la demostración.

Entonces: ¿es esta prueba mejor? Sin duda, es tan riguroso como el de Wigner-Eckart (o se puede hacer que lo sea), pero en realidad no se inscribe en un marco más amplio y sugiere que el resultado está restringido al giro.$1/2$cuando el argumento de Wigner-Eckart es mucho más general. Entonces, hay algo de juego en ambos lados, y vale la pena entender y explorar ambos argumentos.