¿Por qué la simetría de huecos de partículas y la simetría quiral se denominan simetrías?

PAG H PAG − 1 = − H (simetría partícula-agujero) y

Γ H Γ − 1 = − H (simetría quiral)

Entiendo por qué obtenemos los signos negativos, pero estoy un poco confundido en cuanto a por qué significan tales igualdades. H es un agujero de partícula y simétrico quiral.

cuando decimos H es simétrico bajo alguna operación, como la inversión del tiempo, ¿no queremos decir normalmente que H es invariante bajo dicha transformación? T H T − 1 = H si H es la inversión del tiempo simétrica.

Por el contrario, decimos H es simétrico bajo partículas de agujeros y operaciones quirales cuando H toma un signo negativo. Esto parece contradecir nuestra convención habitual de lo que entendemos por H ser simétrico (invariante).

La primera es una simetría dinámica en sentido propio, ya que es un operador antiunitario, por lo tanto una simetría de Wigner , y anticonmuta con el hamiltoniano, preservando así la evolución del tiempo. Esta última es una simetría de Wigner por ser unitaria, pero no es una simetría dinámica ya que no conserva la evolución temporal (la invierte). Entonces, la noción de "simetría" se usa aquí en una versión extendida. Hay muchas terminologías que también son incompatibles, y todas las afirmaciones sobre simetrías deben escribirse siempre de forma clara (ver las vagas afirmaciones sobre la simetría CPT, por ejemplo).

Respuestas (1)

Se llaman simetrías porque (cuando existe la simetría) conmutan con el segundo hamiltoniano cuantificado:

H ^ = ∑ A B ψ ^ A † H A B ψ ^ B ,

donde H A B son los elementos de la matriz del hamiltoniano de una sola partícula:

Inversión del tiempo:

T ^ H ^ T ^ − 1 = H ^

Agujero de partículas:

C ^ H ^ C ^ − 1 = H ^

y quiral

S ^ = C ^ T ^

Los únicos datos adicionales necesarios para obtener su acción en el hamiltoniano de una sola partícula, como está escrito en la pregunta, es cómo se implementan en los operadores de creación y aniquilación:

T ^ ψ ^ A T ^ − 1 = ∑ B ( tu T ) A B ψ ^ B

C ^ ψ ^ A C ^ − 1 = ∑ B ( tu C ∗ ) A B ψ ^ B †

y además si son antiunitarias

T ^ i T ^ − 1 = − i

( tu T y tu C son matrices unitarias)

Consulte la revisión de Ludwig (secciones 1 y 2) y Ryu, Schnyder, Akira y Ludwig (La gran nota al pie después de la ecuación (5)), donde las condiciones anteriores se elaboran en la acción requerida en el hamiltoniano de una sola partícula, y el mayor elaboración de las propiedades de las simetrías discretas.

Elaboración

El caso de la inversión del tiempo

Actuando por el operador de inversión de tiempo en el segundo hamiltoniano cuantificado, obtenemos

T ^ H ^ T ^ − 1 = T ^ ψ ^ A † T ^ − 1 T ^ H A B T ^ − 1 T ^ ψ ^ B T ^ − 1 = ( tu T ∗ ) A C ψ ^ C † H A B ∗ ( tu T ) B D ψ ^ D = H ^ = ψ ^ C † H C D ψ ^ D
(Tenga en cuenta que cuando T ^ actúa sobre los parámetros numéricos H A B , invierte el signo de i y produce el complejo conjugado. Por lo tanto, obtenemos:

( tu T ∗ ) A C H A B ∗ ( tu T ) B D = H C D

cuales son los componentes de la ecuacion matricial:

tu T † H ∗ tu T = H

El caso del agujero de partícula (conjugación de carga) ,

Aquí:

C ^ H ^ C ^ − 1 = C ^ ψ ^ A † C ^ − 1 C ^ H A B C ^ − 1 C ^ ψ ^ B C ^ − 1 = ( tu C ) A D ψ ^ D H A B ( tu C ∗ ) B C ψ ^ C † = − ψ ^ C † ( tu C t ) D A H A B ( tu C ∗ ) B C ψ ^ D = H ^ = ψ ^ C † H C D ψ ^ D

(Aquí la acción de C ^ sobre los parámetros numéricos H A B , es trivial porque la conjugación de carga es un operador unitario). El signo menos se obtiene al invertir el orden de ψ y ψ † que son variables de Grassmann. La última igualdad es equivalente a la ecuación matricial:

− tu C t H ( tu C ) ∗ = H t

Tomando el complejo conjugado de ambos lados, obtenemos:

tu C † H ∗ tu C = − H † = − H

Para la simetría de los agujeros de las partículas, ¿no debería tener un signo negativo en el lado derecho?
C ^ H ^ C ^ − 1 = − H ^
Para la segunda teoría cuantizada, el agujero de la partícula es una simetría, por lo que no existe un signo menos, sin embargo, cuando se elabora la acción sobre el hamiltoniano de una sola partícula, obtenemos el signo menos. Esto se da en las referencias adjuntas.
He agregado la elaboración para la inversión de tiempo y las simetrías de agujeros de partículas.
¿Podría explicar por qué se cumple la ecuación (5) en el documento, es decir, la forma en que el segundo operador cuantizado Ψ A se transforma Esto es esencial para la siguiente discusión en su respuesta. ¿Cómo puedo entender esa fórmula?
Estas ecuaciones describen acciones grupales. Puedes probar este hecho aplicando dos transformaciones consecutivas.
¿Por qué la simetría de huecos de partículas y la simetría quiral se denominan simetrías?
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