Cálculo de la superficie del elipsoide visible desde cualquier punto fuera de él

Recientemente me he interesado en calcular la superficie de la Tierra visible desde cualquier punto del espacio. En preguntas anteriores como Porción visible de la superficie terrestre aquí y ¿ Cuál es el nombre del área de la Tierra que se puede observar desde un satélite? en Exploración Espacial, parece suponerse que la Tierra es esférica, y por tanto la superficie visible desde cualquier punto del espacio sería un casquete esférico. En la discusión de esta pregunta en Sistemas de Información Geográfica, se muestra cómo obtener una expresión que defina los límites del casquete esférico que sería visible desde cualquier punto del espacio.

Sin embargo, para ser completamente precisos en el cálculo de dicha superficie visible, habría que tener en cuenta que la forma de la Tierra no es una esfera perfecta, sino un elipsoide.

Mi pregunta es ¿cómo podemos calcular la porción visible de una superficie elipsoide (supongo que esto podría llamarse un casquete elipsoidal) desde cualquier punto fuera de ella? La respuesta a la pregunta anterior sobre Sistemas de Información Geográfica establece

La solución para un elipsoide es bastante complicada (es una forma irregular, no un círculo) y se calcula mejor numéricamente que con una fórmula.

¿Es este realmente el caso? ¿No hay soluciones de forma cerrada para este problema? Si es así, ¿cómo se calcularía numéricamente?

Si facilita el problema, podemos suponer que el elipsoide es biaxial.

Otras preguntas relacionadas limitadas a una Tierra esférica:

Si bien la superficie de referencia comúnmente utilizada para la Tierra WGS84 es un esferoide achatado, para los planetas que giran lo suficientemente rápido (aunque no la Tierra), ¡a veces el equilibrio hidrostático es de hecho triaxial! ¿Cómo se convierte un esferoide de Maclaurin en un elipsoide de Jacobi? ¿Lo que sucede? (actualmente sin respuesta)
@uhoh Muchas gracias por señalar esto, ¡no estaba al tanto! Esto suena bastante desconcertante. Intuitivamente, supongo que debe haber algún tipo de inestabilidad que lleve a la generación de un tercer eje... ¡Estaré atenta a tu pregunta!
Desafortunadamente, solo existe una fórmula para calcular el área de la sección inscrita por el cono envolvente. Mira mi publicación aquí .
Ver también el enlace aquí .
@NgChungTak ¡muchas gracias por esto! Esto parece una muy buena manera de calcular la superficie del segmento elipsoide. Sin embargo, actualmente estoy más centrado en calcular los límites de un segmento de elipsoide que sería "visible" desde un punto dado en el espacio, conociendo las coordenadas de dicho punto en un sistema de referencia centrado en el centro del elipsoide.

Respuestas (2)

Obtener el límite de la región visible es mucho más fácil que calcular su área. La curva límite es una elipse. Es la intersección del elipsoide y el llamado plano polar del punto de vista.

Si el elipsoide tiene ecuación

X 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 C 2 = 1
Entonces el plano polar del punto ( tu , v , w ) tiene ecuación
tu X a 2 + v y b 2 + w z C 2 = 1
Y, de hecho, ahora descubrí que todo lo que necesita probablemente esté en este documento . Los detalles del "horizonte" de la elipse se calculan y el área encerrada se calcula mediante métodos numéricos.

¡Muchas gracias! Esto es exactamente lo que estaba buscando. Después de buscar el término "plano polar", también llegué a math.stackexchange.com/questions/2853341/… , que parece estar muy relacionado
Acabo de llegar al mismo papel! Gracias de nuevo, el plano polar fue de hecho el concepto clave aquí.

Suponiendo que está utilizando un esferoide real (que WGS84 es, según tengo entendido) y no algún otro tipo de geoide, su geoide esferoidal se puede asignar a una esfera a través de una transformación afín que "estira" la Tierra a lo largo del eje polar.

Una transformación afín mapea líneas que son tangentes al esferoide a líneas que son tangentes a la esfera, y mapea líneas concurrentes a líneas concurrentes, por lo que cualesquiera que sean las líneas de visión al "horizonte" desde la posición de su satélite, se mapean a las líneas tangentes a la esfera desde cualquier punto del espacio al que la transformación afín lleve a tu satélite.

Dado que el horizonte de la esfera es un círculo en un plano, el horizonte del esferoide (después de invertir la transformación afín) también está en un plano, aunque generalmente no es un círculo ya que esa forma no se conserva.

El horizonte será una elipse, que parece menos feo de lo que parece ser la respuesta de GIS.se. Es posible que hayan estado pensando en las curvas geodésicas del esferoide, que no corresponden a las geodésicas de la esfera bajo la transformación afín. Además, las líneas de latitud tampoco se conservan mediante la transformación afín, por lo que la determinación de latitudes y longitudes a lo largo del horizonte puede requerir un cálculo adicional.

El problema real es que las áreas de superficie relativas no se conservan mediante la transformación afín entre una esfera y un esferoide, por lo que para obtener el área visible total tendría que integrar una superficie elipsoidal dentro de un límite elíptico arbitrario. Ni siquiera existe una fórmula cerrada para la longitud de un arco de una elipse que use algo más común que las funciones elípticas, por lo que me sorprendería si hay una fórmula cerrada simple para el área que desea.

Quizás alguien que lea esta respuesta reconozca la integral apropiada para configurar en algún tipo de "forma cerrada" (aunque quizás usando funciones de las que la mayoría de la gente sabe poco).

No puedo decir si algo en esta respuesta se aplica aquí o no.
@uhoh Esa pregunta tiene ∬ F ⋅ norte donde solo tenemos ∬ norte y se integran en todo el elipsoide en lugar de solo una parte de él, por lo que podría ser que F es una función "agradable" para esta aplicación. O puede ser que haya alguna técnica maravillosa que desconozco. Principalmente quería analizar el problema lo suficiente como para convertirlo en un problema matemático puro.
Muchas gracias, parece una forma prometedora de proceder. De hecho, estoy más interesado en obtener los límites del área que el valor de la superficie total. Si entendí correctamente, entonces uno podría hacer lo siguiente: 1) realizar una transformación afín, que llevará al satélite a una nueva posición en el espacio, y calculará las líneas tangentes que definen la superficie visible asumiendo una Tierra esférica. 2) invertir la transformación afín, que convertirá las líneas tangentes de nuevo en líneas tangentes que definen la parte visible real de la Tierra como un esferoide. 3) convertir tales rectas tangentes en...
... valores geodésicos de latitud y longitud. Tal vez calculando primero los valores geocéntricos y luego convirtiéndolos a valores geodésicos. ¿Permitiría la transformación afín tales operaciones en los pasos 1 y 2?
Cálculo de la superficie del elipsoide visible desde cualquier punto fuera de él
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