¿Cuál es la ontología básica de QFT?

He estado estudiando QFT durante casi un año, pero todavía no tengo claro la ontología básica de la teoría. Esto es lo que yo consideraría la "ontología básica" de la mecánica cuántica no relativista:

  1. Una partícula está representada por una función de onda. ψ ( X → , t ) , cuyo módulo cuadrado es la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en un determinado punto del espacio y momento del tiempo.
  2. La ecuación de Schrödinger nos dice cómo ψ ( X → , t ) evoluciona en el tiempo.
  3. Cada observable tiene un operador correspondiente cuyos valores propios son los posibles resultados de una medición. Para encontrar la probabilidad de medir este resultado para una partícula en el estado ψ ( X → ) en el momento t , escribir ψ ( X → ) como una suma de funciones propias ponderadas del operador, y tome el módulo cuadrado del coeficiente en la función propia asociada con el valor propio que desea.

Podría modificar esto para cubrir sistemas físicos más generales que una partícula, o evitar exigir que hablemos solo en términos de la representación de la posición, pero esto transmite la idea básica.

Nunca había visto nada ni remotamente parecido a esto para QFT. Es, digamos, un electrón libre en QFT, representado por un campo de operador ϕ ( X ) , o un estado de espacio de Fock | ϕ ⟩ , ¿O una combinación de los dos? ¿Todo lo anterior para NRQM sigue siendo válido con algunos ajustes menores, o está completamente obsoleto en QFT? Si las ecuaciones de evolución temporal de QFT (Klein-Gordon, Dirac, etc.) determinan la evolución de un campo , entonces, ¿qué determina la evolución de un estado ?

Con algunas excepciones (cambio de Lamb y similares), en QFT, usted se enfoca principalmente en la dispersión de estados asintóticos, esencialmente en el espacio de impulso o vidas. Por lo tanto, sus observables son bastante diferentes y la atención excesiva a los estados localizados es en gran medida inútil.
> la atención excesiva a los estados localizados es en gran medida inútil. ¿En qué parte de la pregunta WillG pregunta sobre estados localizados? ¿Por qué sería inútil preguntar por ellos?
Supongo que los estados en los que "nos enfocamos" son en gran medida irrelevantes para la ontología básica de una teoría.
Desde una perspectiva de materia condensada, puede comenzar con un hamiltoniano y construir la integral de trayectoria. En esta lente, el hamiltoniano cuantizado es más fundamental, por lo que todo se transfiere de QM
@Ján Lalinský Se entiende que la atención a las coordenadas x en QFT está equivocada, por lo que conectar φ (x) a un electrón localizado es complicado . Un electrón es un estado del espacio de Fock y, al dispersarse, se considera en el espacio de cantidad de movimiento. QFT es una colección relativista de osciladores cuánticos que incluye todos los problemas de QM, una generalización maestra. Pero meterlo con calzador en imágenes ontológicas contraproducentes de QM es contraproducente y propenso a la confusión.
Un estado se construye a partir de campos que actúan sobre el vacío de Fock, por lo que su evolución sigue la evolución de los campos. QFT se trata de calcular la vida útil, las relaciones de ramificación y las secciones transversales, no los patrones de interferencia. En situaciones simples, como las oscilaciones, puede capturar sus resultados a través de QM convencional, con su interfaz de intuición habitual.
Puedo tratar de convertir esto en una respuesta, pero un camino que sugeriría involucra axiomatizaciones funcionales de teorías de campo, por ejemplo, la definición de CFT de Segal, la definición de TQFT de Atiyah, extensiones categóricas más altas de este último por Lurie y otros, etc. imagen, un QFT está determinado por su función de partición o matriz S.
@d_b Eso sería un complemento interesante para mi respuesta. Cité una revisión de Monnier del enfoque funcional de Atiyah-Segal ( arxiv.org/abs/1903.02828 ) pero no expliqué de qué se trata. Lo dejé como click-bait.

Respuestas (1)

Estoy interpretando la pregunta así:

¿Cuáles son los principios generales de QFT, conceptualmente?

No estoy seguro de si este es el tipo de respuesta que busca el OP, pero lo intentaré y veré cómo se recibe. Esta es una perspectiva no perturbativa .

QFT refina la teoría cuántica

QFT es un refinamiento de los principios generales de la teoría cuántica. Los principios generales de la teoría cuántica dicen que los observables (cosas medibles) están representados por operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert; pero no dicen mucho sobre qué tipos de observables debe incluir un modelo. Especificar cuáles son los observables básicos (cosas medibles) y qué operadores los representan es la tarea de especificar un modelo . QFT hace esto de una manera relativamente sistemática, como se explica a continuación.

Una vez especificados los observables, las reglas son las mismas de siempre. Cada vez que se mide un observable, podemos proyectar el estado en uno de los espacios propios del observable, con frecuencias relativas determinadas por la regla de Born. Es decir, después de una medición, reemplazamos | ψ ⟩ → PAG norte | ψ ⟩ , dónde PAG norte es el operador de proyección sobre el observable norte -th autoespacio, con frecuencias relativas ⟨ ψ | PAG norte | ψ ⟩ , tal como aprendimos a hacer en QM introductorio.

Los observables en QFT están vinculados al espacio-tiempo, no a las partículas

En aras de responder a la presente pregunta, contrastaré QFT con otra clase de modelos que llamaré "mecánica cuántica". A veces, "mecánica cuántica" se usa como sinónimo de los principios generales de la teoría cuántica, pero no es así como estoy usando las palabras aquí.

  • En la clase de modelos que llamaré "mecánica cuántica", los observables están vinculados a partículas .

  • En QFT, los observables están vinculados a regiones del espacio-tiempo .

Conceptualmente, esto es probablemente lo más importante que hay que entender sobre QFT: no tiene elementos observables vinculados a partículas. En QFT, las partículas son fenómenos que pueden ocurrir, y decidir con precisión qué fenómenos deben llamarse "partículas" puede ser un asunto complicado (excepto en modelos triviales).

En QFT, los observables están asociados con regiones del espacio-tiempo. En aras de ser conciso, pretenderé que podemos asociar observables con puntos del espacio-tiempo, ignorando los muchos problemas matemáticos que esto causa. En QFT, la asociación entre observables y regiones (o puntos) del espacio-tiempo son los datos que definen un modelo específico. Esta asociación suele ser necesaria para satisfacer algunas condiciones básicas, como las siguientes:

  • El principio de la porción de tiempo : todos los observables se pueden expresar en términos de aquellos asociados con una vecindad de cualquier tiempo único. (Me refiero a la imagen de Heisenberg aquí, por lo que los observables están parametrizados por tiempo y los estados no. La imagen de Schrödinger se mencionará a continuación).

Las ecuaciones de movimiento de Heisenberg (ver más abajo) son expresiones de este principio.

  • En QFT relativista, imponemos la causalidad de Einstein (también conocida como microcausalidad ): si dos puntos están separados por un intervalo similar al espacio, entonces los observables asociados se conmutan entre sí.

El principio de causalidad de Einstein impide la comunicación más rápida que la luz. En QFT no relativista (o en construcciones de celosía de QFT "relativista"), podemos relajar esto a: Si dos observables están asociados con diferentes puntos al mismo tiempo, entonces conmutan entre sí. Por cierto, la QFT no relativista se superpone con lo que llamé "mecánica cuántica" anteriormente. Más sobre esto a continuación.

Para hacer contacto con el experimento, necesitamos saber qué partículas predice un QFT determinado y cómo se comportan. Esto se puede resolver explícitamente en modelos triviales, donde "trivial" significa "las partículas no interactúan entre sí", pero es muy difícil de resolver explícitamente en modelos no triviales. Más sobre esto a continuación.

Los observables se construyen a partir de operadores de campo.

Los observables en QFT generalmente se construyen en términos de campos , que por supuesto es de donde proviene el nombre de teoría cuántica de campos . Los campos, como los observables, están ligados al espacio-tiempo. Por ejemplo, un campo de espinor de Dirac es un operador ψ norte ( X , t ) parametrizado por un punto en el espacio X y un tiempo t y un índice de espinor norte , que tomaría valores norte ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 } en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. (Eso es una coincidencia, por cierto; en norte -espacio-tiempo dimensional, el número de componentes de un espinor de Dirac crece exponencialmente con el aumento norte .)

Los operadores de campo no necesariamente necesitan satisfacer las mismas condiciones básicas que los observables. En particular, podemos tener campos de fermiones, que no conmutan entre sí en separaciones espaciales, aunque los observables construidos a partir de esos campos deberían conmutar entre sí en separaciones espaciales. Es por eso que los observables deben involucrar un producto de un número par de campos de fermiones, nunca un número impar.

En la mayoría de los modelos, los observables se construyen con la ayuda de campos de calibre , con el entendimiento de que los observables son invariantes bajo transformaciones de calibre, aunque los campos a partir de los cuales se construyen no lo sean. Hay mucho más que decir sobre ese tema, demasiado para decir aquí.

El estado de vacío y estados con partículas

Aquí hay otra condición básica que generalmente se impone, al menos cuando el espacio-tiempo es plano :

  • La condición del espectro : el hamiltoniano H , el operador que genera las traslaciones temporales de todos los observables, debe satisfacer ⟨ ψ | H | ψ ⟩ ≥ 0 para todos los vectores de estado en el espacio de Hilbert. En otras palabras, la energía debe ser no negativa (o al menos limitada desde abajo, en cuyo caso podemos agregar una constante intrascendente a H para hacerlo no negativo). Un estado de energía más baja se llama estado de vacío , al menos si también satisface algo llamado la propiedad del grupo que no describiré aquí.

Todavía no está claro cómo debería generalizarse la condición del espectro para espaciostiempos curvos genéricos. Hay una idea prometedora llamada "condición de espectro microlocal", pero esta sigue siendo un área activa de investigación en la actualidad. Este tema es importante porque saber qué estado debe usarse como estado de vacío es un requisito previo para definir qué es una "partícula". Las partículas son cosas que se pueden contar, y el estado de vacío no debería tener ninguna de ellas. (Esa regla se rompe en el espacio-tiempo curvo. No entraré en eso aquí, pero describí un enfoque pragmático en otra respuesta ).

Esta es la idea: Si | 0 ⟩ es el estado de vacío, entonces un observable D que se construye a partir de operadores de campo localizados en una región dada R y eso satisface D | 0 ⟩ = 0 podría usarse como un modelo de un dispositivo de conteo de partículas localizado en R — excepto que tal cosa es matemáticamente imposible en QFT relativista, debido al famoso teorema de Reeh-Schlieder . Lo mejor que podemos hacer es construir un observable local que aniquile aproximadamente el estado de vacío. Eso es parte de por qué definir qué debería significar "partícula" en QFT es un poco complicado.

Al analizar modelos triviales , podemos evitar esto considerando operadores de conteo de partículas no locales . La receta es expresar un operador de campo dado como una suma de términos de frecuencia positiva y negativa, llamados operadores de creación y aniquilación . (Estos operadores son necesariamente no locales en el espacio). A partir de ellos, podemos construir norte -estados de partículas y operadores de conteo de partículas, como se describe en muchos libros de texto. En modelos no triviales, esto se vuelve mucho más difícil. Esta podría ser la razón principal por la que QFT es tan difícil de aprender.

En QFT estrictamente no relativista , esas complicaciones desaparecen y podemos construir explícitamente norte -estados de partículas incluso en modelos no triviales. Dado que el número de partículas se conserva en QFT no relativista, incluso podemos considerar un submodelo que consta de solo estados con un número dado de partículas. Para estados con no más de una partícula de cada especie, el resultado es lo que llamo "mecánica cuántica", en la que los observables pueden vincularse a partículas individuales. †

† Si consideramos estados que tienen más de una partícula de la misma especie, incluso si su número total es fijo, entonces los observables aún deben estar vinculados al espacio-tiempo. La forma tradicional de decir esto es decir que las partículas son "indistinguibles".

Las ecuaciones de movimiento

Si las ecuaciones de evolución temporal de QFT (Klein-Gordon, Dirac, etc.) determinan la evolución de un campo, entonces, ¿qué determina la evolución de un estado?

La formulación descrita anteriormente utiliza la imagen de Heisenberg, en la que los campos (y los observables) están parametrizados por el tiempo pero los estados no. Con algunas suposiciones sobre la estructura del modelo, podemos cambiar a la imagen de Schrödinger, en la que los estados están parametrizados por tiempo pero los observables no. En la imagen de Schrödinger, la ecuación que describe cómo evolucionan los estados en el tiempo es simplemente la ecuación habitual de Schrödinger.

i d d t | ψ ( t ) ⟩ = H | ψ ( t ) ⟩
dónde H es el hamiltoniano, que es un operador expresado en términos de los mismos operadores de campo a partir de los cuales se construyen todos los demás observables. Como es habitual, es el observable asociado a la energía total del sistema. Este es el mismo hamiltoniano que usamos en la imagen de Heisenberg para describir la dependencia del tiempo de un operador de campo. ϕ :
i ∂ ∂ t ϕ ( X , t ) = [ ϕ ( X , t ) , H ] .
Escribí la derivada temporal como una derivada parcial aquí, porque los operadores de campo también están parametrizados por las coordenadas espaciales. La relación entre las imágenes de Schrödinger y Heisenberg es la misma que en la "mecánica cuántica". Lo bueno de usar la imagen de Heisenberg en QFT es que trata las coordenadas de espacio y tiempo de una manera más equilibrada: los operadores de campo (y los observables) están parametrizados por ambos. Eso hace que los principios generales como la causalidad de Einstein sean mucho más fáciles de expresar.

Las ecuaciones de movimiento de Heisenberg y las relaciones de conmutación para los operadores de campo se construyen típicamente utilizando la receta de cuantización canónica, comenzando con un Lagrangiano "clásico". (Puse "clásico" entre comillas porque puede implicar campos de fermiones anticonmutantes). Sin embargo, también podemos tener QFT no lagrangianos , algo que parecería muy misterioso si pensáramos en la cuantización canónica como la definición de QFT.

Perspectivas alternativas

En la formulación descrita anteriormente, los observables son los actores principales. Hay otras formulaciones, como la integral de ruta, que pueden ser más convenientes para calcular cosas como funciones de correlación. Las funciones de correlación contienen implícitamente todo lo que hay que saber sobre el modelo, y son especialmente convenientes para estudiar los procesos de dispersión, después de usar algunos trucos sutiles (como la fórmula de reducción LSZ ) para relacionarlos con las partículas de la teoría .

La formulación de integral de ruta sugiere otra forma de pensar sobre QFT, una que abre la puerta a nuevos tipos de conocimientos. Para las personas que ya conocen los conceptos básicos de la teoría de categorías, se puede encontrar una introducción relativamente concisa a la idea en "Un punto de vista moderno sobre las anomalías", https://arxiv.org/abs/1903.02828 .

Aunque existe desde hace mucho tiempo, la mejor manera de pensar en QFT podría ser algo que aún no hemos concebido. Este sentimiento fue expresado por el físico matemático Yuji Tachikawa en una presentación que comienza con estas diapositivas (después de una introducción nostálgica):

Diapositiva de título: ¿Qué es la teoría cuántica de campos?

Siguiente diapositiva: No lo sé.

Siguiente diapositiva: EL FIN. Gracias por escuchar.

Wow, gracias por esta larga e informativa respuesta. Creo que la declaración más importante en esto para mí fue que las partículas en QFT no son cosas sino fenómenos. ¿Es correcto el siguiente resumen? "QFT incluye tanto estados (vectores de un espacio de Hilbert) como campos de operadores . El que cambia con el tiempo depende de la imagen que se use (Schrodinger vs Heisenberg), pero de cualquier manera, la relación entre el estado y el campo determina las probabilidades de los observables. La medición de una partícula en algún lugar es uno de esos observables".
¿También es justo decir que la explicación popular, "una partícula es una excitación de un campo", no es exacta en general? En la imagen de Schrödinger, por ejemplo, el campo es constante, por lo que no podría estar "excitado". ¿No deberíamos decir algo más como "una partícula es un pico en el valor esperado del operador numérico cerca de un cierto punto del espacio-tiempo"?
@WillG El resumen en su primer comentario es correcto, ¡y probablemente hubiera sido una respuesta mucho mejor que la mía! La explicación popular citada en su segundo comentario tiene algo de verdad, pero está demasiado simplificada. La correspondencia entre especies de campo y especies de partículas no siempre es uno a uno. Su "pico en el valor esperado" es bueno, aunque plantea la pregunta de qué operador califica como operador numérico. Sabemos la respuesta en modelos triviales (me refiero a trivial en un sentido técnico, no en un sentido peyorativo), pero generalmente no en modelos no triviales.
Interesante. Entonces, supongo que elegir un operador de número de partículas es como elegir qué operadores en NRQM corresponden a qué observables físicos. como, por qué i ∂ / ∂ t representa el impulso: porque QM da la libertad de elegir qué operadores queremos para cada observable físico al construir un modelo específico, y algunos modelos simplemente parecen funcionar.
@WillG Después de construir un modelo a partir de operadores de campo, sabemos cómo se localizan todos sus observables en el espacio-tiempo. (Eso es más o menos lo que significa construir un modelo en QFT). Una vez que hayamos hecho eso, podemos preguntar cuál de sus observables tiene las propiedades correctas para actuar como contadores de partículas. En principio, esa interpretación es algo que podemos deducir del modelo, no algo que tenemos que elegir o asumir.
@WillG Pero en la práctica, tales cálculos no perturbadores pueden ser demasiado difíciles, por lo que a menudo recurrimos a la teoría de la perturbación: comience con un modelo trivial, descubra cuáles son sus partículas y luego espere que la imagen del modelo trivial se parezca a la imagen en la versión completa no trivial del modelo. A veces lo hace, ya veces no. Un ejemplo de esto último es QED sin masa en 1 + 1 dimensiones del espacio-tiempo. ¡La versión trivial tiene electrones y fotones, pero la versión completa resulta ser equivalente a un modelo con solo bosones escalares que no interactúan !
El link del final esta roto
@Ruslan Arreglé el enlace roto. ¡Gracias!
"Aún no está claro cómo debería generalizarse la condición del espectro para espacios-tiempos curvos genéricos... Este tema es importante porque saber qué estado debería usarse como estado de vacío es un requisito previo para definir qué es una 'partícula'". ... esta observación debería ser la primera observación que uno tiene que hacer cuando se habla de que QFT es una teoría consistente, y esto de hecho choca con el hecho de que existe controversia sobre cómo definir las bases de Bogoliubov en marcos no inerciales/rotatorios
Nunca he oído hablar de modelos no triviales. ¿Qué es un ejemplo? En los libros, solo he visto el operador numérico y el operador de cargo definidos como no locales, tanto para QED como para ϕ 4 . Por modelos no triviales, ¿te refieres entonces a QCD? Creo que es muy extraño que los operadores numéricos se definan de forma no local, incluso cuando se detectan partículas en un punto de los experimentos.
@RyderRude Como se define en esta respuesta, un modelo no trivial es uno cuyas partículas interactúan entre sí. QED, ϕ 4 , y QCD no son triviales en este sentido. El operador de número total no puede ser local, porque necesita ser sensible a partículas que podrían estar en cualquier parte del espacio, pero también podemos definir operadores de número aproximadamente locales que son principalmente sensibles a partículas en regiones específicas, como lo son los detectores realistas. . (En el mundo real, no detectamos partículas en un punto , solo en una región muy pequeña. La resolución espacial infinitamente fina es imposible en el mundo real).
¿Cuál es la ontología básica de QFT?
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