¿Por qué el estado Sz=0Sz=0S_{z} =0 está prohibido para los fotones?

Las partículas sin masa con espín no tienen un "$S_z = 0$"estado porque en realidad no tienen espín como las partículas masivas . Tienen helicidad , que es el valor de la proyección del operador de espín sobre el operador de momento. La razón de esto es la teoría de la representación del grupo de simetría del espacio-tiempo, el grupo Poincaré.

Para entender esto, primero debemos recordar que "spin" es el número que etiqueta las representaciones irreductibles de$\mathrm{SU}(2)$, la doble tapa del grupo de rotación$\mathrm{SO}(3)$. Pero, en la teoría relativista del campo cuántico, que es la teoría necesaria para describir los fotones, este grupo de rotación no es el grupo de simetría del espacio-tiempo que necesitamos representar. En su lugar, debemos buscar representaciones del componente conectado a la identidad del grupo de Poincaré.$\mathrm{SO}(1,3)\rtimes\mathbb{R}^4$, es decir, de la transformación de Lorentz ortocrónica propia junto con las traslaciones.

Ahora, para las representaciones de dimensión finita del grupo de Lorentz, tenemos la suerte de que existe una equivalencia "accidental" de las representaciones algebraicas de$\mathfrak{so}(1,3)$y$\mathfrak{su}(2)\times\mathfrak{su}(2)$, lo que nos permite etiquetar las representaciones de dimensión finita en las que los campos relativistas clásicos se transforman por pares de medios enteros$(s_1,s_2)$dónde$s_i\in\frac{1}{2}\mathbb{Z}$etiqueta un solo$\mathfrak{su}(2)$representación. El álgebra de rotación real se encuentra en diagonal en este$\mathfrak{su}(2)\times\mathfrak{su}(2)$, por lo que el giro físico de tal representación es$s_1+s_2$. Esto determina el espín clásico asociado a un campo .

Como tantas veces, la teoría cuántica complica las cosas: el teorema de Wigner implica que ahora debemos buscar representaciones unitarias del grupo de Poincaré en nuestro espacio de estados de Hilbert. Excepto por la representación trivial correspondiente al vacío, ninguna de las representaciones de dimensión finita es unitaria (esencialmente porque el grupo de Poincaré no es compacto y no tiene subgrupos normales compactos). Así que debemos recurrir a representaciones de dimensión infinita, y aquí no tenemos la equivalencia entre$\mathfrak{so}(1,3)$y$\mathfrak{su}(2)\times\mathfrak{su}(2)$. Las técnicas explotadas para realizar esta equivalencia se basan explícitamente en la dimensionalidad finita de la representación. En particular , no existe tal isomorfismo como$\mathrm{SO}(1,3)\cong\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$, independientemente de la frecuencia con la que lea afirmaciones similares en libros de física. Para obtener más información sobre este tema, consulte, por ejemplo, esta respuesta de Qmechanic .

Resulta que clasificar las representaciones unitarias no es una tarea tan sencilla. La clasificación completa se llama clasificación de Wigner , y resulta que para construir representaciones unitarias irreducibles, es relevante observar el pequeño grupo correspondiente a la cantidad de movimiento de una partícula: el subgrupo del grupo de Lorentz que deja invariante la cantidad de movimiento de la partícula. . Para una partícula masiva, esto es$\mathrm{SO}(3)$, y resulta que podemos etiquetar la representación unitaria también con nuestro giro familiar$s$.

Pero para una partícula sin masa, el impulso$(p,-p,0,0)$no es invariante bajo$\mathrm{SO}(3)$, pero bajo un grupo llamado$\mathrm{ISO}(2)$o$\mathrm{SE}(2)$, que es esencialmente$\mathrm{SO}(2)$con traducciones. siendo abeliano,$\mathrm{SO}(2)$tiene solo representaciones irreducibles unidimensionales, etiquetadas por un solo número$h$, que resulta ser físicamente el valor propio de la helicidad. Hay casos más generales para$\mathrm{ISO}(2)$, llamadas representaciones de espín continuo (CSR), pero hasta ahora no han sido físicamente relevantes.

Ahora, este único número$h$cambia su signo bajo paridad, por lo que para partículas asociadas a campos clásicos con espín distinto de cero, debemos tomar tanto el$h$y el$-h$representaciones. Y eso es todo: partículas de helicidad sin masa.$h$tener el$h\oplus -h$representación en su espacio de estados, no una representación de giro de$\mathrm{SO}(3)$. La evaluación del operador de espín real muestra que nuestra idea clásica de espín coincide con el número$h$.

Por lo tanto, sin haber dicho nada sobre el fotón o el campo electromagnético en particular, sabemos que las partículas sin masa de espín distinto de cero vienen con dos grados de libertad . Esto es completamente general y está en el centro del argumento de que todos los bosones vectoriales sin masa son bosones de calibre :

Sabemos que un campo vectorial genérico tiene tres grados de libertad: los componentes de campo independientes que se transforman entre sí bajo la transformación de Lorentz, por lo tanto, tres conjuntos independientes de operadores de creación y aniquilación que se transforman entre sí, por lo tanto, esperamos tres tipos distintos de estados de partículas.

Pero los dos grados de libertad de una partícula de espín 1 sin masa no coinciden con esto, por lo que uno de los grados de libertad de un campo vectorial sin masa debe ser "falso". La forma en que los grados de libertad de los campos son "falsos" es porque el campo es un campo de indicador y hay 1 grado de libertad en la libertad de elegir un indicador. La historia de la cuantización de la teoría de calibre, incluso en el caso abeliano del electromagnetismo, es sutil, y tiene razón al no aceptar ciegamente el argumento de que las dos polarizaciones clásicas del campo de calibre (la longitudinal es eliminada por la simetría de calibre) se vuelven distintos tipos de estados de partículas en la teoría cuántica: el desacoplamiento de los estados que uno asociaría ingenuamente a los modos longitudinales está asegurado por las identidades de Ward, y no es del todo obvio a priori.

Es por esto que las propiedades de ser un bosón de calibre y de no tener un$S_z = 0$y de ser sin masa están todos interrelacionados: ser una de estas cosas inmediatamente también obliga a las otras dos. En esta respuesta, consideré "ser sin masa" como la propiedad fundamental, ya que esto muestra "no$S_z=0$"sin asumir nada más específico sobre el campo, en particular, sin restringirse a campos de calibre o electromagnetismo a priori.

No puedo mejorar la respuesta de KDN, pero dados los comentarios de Todd, este es un intento de reformular la respuesta de KDN en términos sencillos.

Un sistema solo está en un estado propio de giro alrededor de un eje si una rotación alrededor del eje no cambia el sistema. Tomar$z$ser la dirección de viaje, entonces para un sistema de espín 1 la$S_z$= 0 el estado sería simétrico a una rotación alrededor de un eje normal a la dirección de viaje. Pero esto solo puede ser el caso si el impulso es cero, es decir, en el marco de reposo. Si el sistema tiene una cantidad de movimiento distinta de cero, cualquier rotación cambiará la dirección de la cantidad de movimiento, por lo que no dejará el sistema sin cambios.

Para una partícula masiva, siempre podemos encontrar un marco de reposo, pero para una partícula sin masa no hay marco de reposo y, por lo tanto, es imposible encontrar una función propia de espín sobre cualquier eje que no sea a lo largo de la dirección de desplazamiento. Esto se aplica a todas las partículas sin masa, por ejemplo, los gravitones también tienen solo dos estados de espín.

Las respuestas de KDN y John Rennie son correctas. Solo intentaré ilustrar cómo funciona:

Las componentes de un campo de espín 1 sin masa satisfacen

$$\Box^2 A_{\mu}(x) = 0$$ Tradicionalmente realizamos la expansión en variables de momento $$A^{\mu}(x) = \int{\frac{1}{\sqrt{p^0}}A^{\mu}({\bf{p}})e^{-ip.x}}d^3{\bf{p}} + \textrm{c.c.}$$ Si la partícula se mueve en la dirección z, entonces su cantidad de movimiento es $$p^{\mu} = (p^0, 0, 0, p^3)$$ y la condición de Lorenz $\partial_{\mu}A^{\mu}=0$que, en las variables del espacio de momento parece $$p_{\mu}A^{\mu}({\bf{p}})=0$$ ahora se convierte $$p^0A^{0}({\bf{p}})-p^3A^{0}({\bf{p}})=0$$ y asi vemos que $$A^{0}({\bf{p}}) = A^{3}({\bf{p}})$$ Entonces podemos expresar $A^{\mu}({\bf{p}})$en términos de vectores de polarización $$A^{\mu}({\bf{p}}) = \sum\limits_{\lambda}a_{\lambda}({\bf{p}})\epsilon^{\mu}_{\lambda}$$ donde los tres vectores de polarización se ven como $$\epsilon^{\mu}_{1}=(0, 1, 0, 0)$$ $$\epsilon^{\mu}_2=(0, 0, 1, 0)$$ $$\epsilon^{\mu}_{3}=(1, 0, 0, 1)$$ Si ahora toma el caso especial de una onda con solo la tercera polarización $$A^{\mu}(x) = \int{\frac{1}{\sqrt{p^0}}a_{3}({\bf{p}})\epsilon_3^{\mu}e^{-ip.x}}d^3{\bf{p}} + \textrm{c.c.}$$ y ahora calculas el ${\bf{E}}$y ${\bf{B}}$campos, entonces la forma especial de $\epsilon_3^{\mu}$asegura que obtienes cero. Por lo tanto, la polarización en la dirección de propagación no contribuye en nada al campo.

la ausencia del$S_z=0$la proyección de espín está relacionada con la falta de masa del fotón. Debido a que el fotón no tiene masa, se propaga a la velocidad de la luz y no tiene evolución en el tiempo de reposo. Esto elimina uno de los estados de polarización permitidos que estarían presentes en los bosones masivos. Resolviendo el problema de valor propio para el operador de espín S da valores propios de$S_z=\pm\hbar,0$, donde los vectores propios normalizados, dados en$(x,y,z)$notación cartesiana, corresponden a vectores propios$\frac{1}{\sqrt{2}}(1,i,0)$(por$+\hbar$),$\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-i,0)$(por$-\hbar$) y (0,0,1) (para 0).
Los dos primeros vectores propios representan la propagación de fotones polarizados circularmente a la izquierda y a la derecha, respectivamente. El tercer vector propio representa un campo que no se propaga. El fotón que no se propaga, al no tener masa, no tiene energía en absoluto.

Hay cierta validez en la noción de$S_z=0$fotones virtuales sin embargo.

En la Teoría Cuántica de Campos, los estados de una partícula se definen como los estados de una representación unitaria irreducible del Grupo de Poincaré. Si esto no fuera cierto, habría estados de una representación reducible que no estarían conectados por una transformación de Poincaré. Estos estados son partículas bastante diferentes.

los casimiros

Si tenemos una representación irreducible de un grupo entonces el Lema de Schur dice que un operador que conmuta con todos los generadores, un Operador Casimir, debe ser un múltiplo de la identidad. Luego, aplicar este operador a cualquier estado de la representación da el mismo valor propio (a veces también llamado Casimir). Usamos los valores propios de diferentes representaciones para etiquetarlas. Esto es exactamente lo que hacemos en Mecánica Cuántica cuando usamos el Casimir$J^2$y sus valores propios$j$para etiquetar representaciones irreducibles del álgebra de cantidad de movimiento angular.

El Grupo Poincare tiene dos Operadores Casimir,$P_\mu P^\mu$y$W_\mu W^\mu$, dónde$P^\mu$es el generador de momento y

$$W^\mu=-\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\sigma\rho}J_{\nu\sigma}P_\rho,$$ es el vector de Pauli-Lubanski. los $J^{\mu\nu}$somos el generador del Grupo Lorentz. Podemos suponer, por tanto, que tenemos dos etiquetas para las representaciones irreductibles del Grupo de Poincaré.

Escribimos los estados de una partícula como

$$|p,\sigma\rangle,$$ dónde $p$es el cuatro impulso y $\sigma$es la otra etiqueta por determinar. Los valores propios de $P_\mu P^\mu$son $m^2$, la masa cuadrada de la partícula. Esto da lugar a una representación de dimensión infinita cuyos estados están etiquetados por cuatro momentos $p$. Así que nos queda encontrar las representaciones irreductibles del Grupo de Lorentz homogéneo. Sin embargo, tenemos que considerar los casos masivos y sin masa por separado.

el pequeño grupo

Primero tomemos un impulso particular de cuatro$k$. Escribimos una transformación general del grupo de Lorentz como

$$\Lambda=L(\Lambda p)W(\Lambda,p)L^{-1}(p),$$ dónde $L(p)$es el impulso relacionado $k$y $p$, $$L(p)k=p,$$ $$W(\Lambda,p)\equiv L^{-1}(\Lambda p)\Lambda L(p),$$ es la llamada rotación de Wigner y la $L^{-1}$denote la transformación inversa. Estos elementos forman el llamado Grupo Pequeño que deja el resto del marco de impulso. $k$invariante, $$W(\Lambda,p)k=k.$$ actuando con $\Lambda$en un estado $|p,\sigma\rangle$, $$\Lambda |p,\sigma\rangle=L(\Lambda p)W(\Lambda,p)|k,\sigma\rangle,$$ y darse cuenta del estado resultante debe tener cuatro impulsos $\Lambda p$y estar en una combinación lineal de estados con la etiqueta desconocida $\sigma$concluimos que el $W(\Lambda,p)$actuar en la etiqueta desconocida $\sigma$. Por lo tanto conocer la representación irreducible del Pequeño Grupo es lo que necesitamos para conocer las representaciones irreducibles del Grupo de Poincaré.

Partículas masivas

En este caso podemos ir al marco de descanso,$p^\mu=(m,0,0,0)\equiv k^\mu$. Vemos que el Grupo Pequeño se va$k^\mu=(m,0,0,0)$puede ser el grupo de rotación en tres dimensiones,$SO(3)$, o incluso el más general$SU(2)$que es una doble cubierta de$SO(3)$. Para el último caso sabemos (Mecánica Cuántica estándar) que sus representaciones irreducibles están etiquetadas por el espín$j=0,1/2,1,3/2,...$y el número total de estados para un giro dado es$2j+1$.

Partículas sin masa

No hay marco de descanso, así que elegimos$P^\mu=(k,0,0,k)$. El pequeño grupo saliendo$k$invariante es el grupo euclidiano en dos dimensiones$ISO(2)$que consta de dos traslaciones y rotaciones en el$x^1x^2$plano. Los dos generadores de traducción dan lugar a otro valor propio continuo$\theta$pero es un hecho experimental que no hay ninguna partícula con$\theta\neq 0$. Entonces solo necesitamos considerar las rotaciones del plano. Estas rotaciones (sobre el$x^3$eje) forman el grupo abeliano$SO(2)$cuyos elementos son$e^{i\phi \vec J\cdot\vec e_3}$. Cada representación de este grupo tiene solo un estado , y están etiquetados por números enteros

$$h\equiv \vec J\cdot\vec e_3,$$ que llamaremos helicidad. En principio, una partícula sin masa tiene un valor posible de la helicidad $h$pero por su definición la helicidad es un pseudo-escalar. Para una partícula sin masa que interactúa a través de una interacción de conservación de paridad, tenemos que asignar las dos representaciones $h$y $-h$para representar la partícula. Por eso el phtoton tiene helicidad $+1$y $-1$y el graviton tiene helicidad $+2$y $-2$.

Aplicación de un esquema de cuantificación covariante sobre el campo electromagnético libre$A^{\mu}$uno puede mostrar la existencia de estados de un fotón descritos por impulso$k$y uno de los cuatro posibles estados de polarización. Esos cuatro estados de polarización corresponden a los cuatro valores posibles de espín -1,0,0,+1. Corresponden a fotones transversales (2), longitudinales (1) y escalares (1).

Sin embargo, esto se obtiene asumiendo que los cuatro estados son verdaderamente independientes, cuando no lo son. Al imponer la condición de Lorentz (o algún otro equivalente como la condición de Gupta Bleuler) se obtiene que los fotones longitudinales y escalares son linealmente dependientes para cada valor de momento

$$[a_3(k) - a_0(k)] |\Psi \rangle = 0$$

Aquí el$a_0$y$a_3$son operadores de destrucción para fotones escalares y longitudinales, respectivamente. Es fácil demostrar que la combinación anterior implica que los fotones longitudinales y escalares no contribuyen a los observables de campo. Por lo tanto, el valor esperado para la energía del campo electromagnético solo involucra fotones transversales.

$$\langle \Psi | H | \Psi \rangle = \langle \Psi | \sum_k \sum_{r=1}^2 \hbar \omega_k a_r^\dagger(k) a_r(k)] |\Psi \rangle$$

Como consecuencia, solo los fotones transversales pueden observarse como partículas libres asociadas al campo electromagnético.

Sin embargo, los fotones escalares y longitudinales juegan un papel importante en presencia de cargas . En mi opinión, la forma más sencilla y directa de entender por qué es usar el propagador de fotones.$D^{\mu\nu}(k)$. De nuevo, esto depende de cuatro estados de polarización. La interpretación de la contribución de fotones transversales.$D_T^{\mu\nu}(k)$es directo, mientras que las contribuciones de longitudinal y escalar no pueden interpretarse físicamente por separado. Sin embargo, se pueden reorganizar en combinaciones lineales.$D_C^{\mu\nu}(k)$y$D_R^{\mu\nu}(k)$que permiten una interpretación física simple

$$D^{\mu\nu}(k) = D_T^{\mu\nu}(k) + D_C^{\mu\nu}(k) + D_R^{\mu\nu}(k)$$

El primer término es la contribución de radiación habitual e involucra fotones transversales. El segundo término es el término habitual de Coulomb e implica una mezcla de fotones escalares y longitudinales. El término restante, que también implica una mezcla de fotones escalares y longitudinales, no es observable (se puede demostrar que su contribución a la dispersión es cero).

Tenga en cuenta que aunque la interacción de Coulomb surge como un intercambio de fotones escalares y longitudinales, esos fotones no son observables. No aparecen en estados inicial y final de procesos de dispersión (sólo lo hacen los fotones transversales), sino que son partículas virtuales en estados intermedios.

De acuerdo con la electrodinámica cuántica, la teoría verificada con mayor precisión en la física, un fotón es una excitación de una sola partícula del campo electromagnético cuántico libre. Más formalmente, es un estado del campo electromagnético libre que es un estado propio del operador de número de fotones con valor propio 1.

El espacio de Hilbert de una sola partícula del fotón lleva una representación de espín 1 sin masa irreducible unitaria del grupo de Poincaré extendido. En el caso sin masa, la representación vectorial (que es una representación irreducible de espín 1 en el caso masivo) es reducible y se descompone en una representación escalar irreducible en los modos longitudinales y una representación irreducible en los modos transversales; la última es la representación del fotón.

En el espacio de cantidad de movimiento, los modos longitudinales tienen un potencial vectorial$A(p)$paralelo al 3-momentum$p$, y los modos transversales tienen un potencial vectorial$A(p)$ortogonal a$p$(típicamente dividido en dos modos de polarización lineal o circular). La falta de modos longitudinales en la representación irreductible explica la falta de$S_z=0$estados de fotones que se propagan en$z$-dirección (es decir, con impulso paralelo a$(0,0,1)^T$).

Los estados de fotón único más generales tienen la forma$|A\rangle = \int \frac{dp^3}{2p_0} A(p)|p\rangle$, dónde$|p\rangle$es un estado de una sola partícula con 3-momentum definido$p$,$p_0=|p|$es la energía fotónica correspondiente dividida por$c$, y la amplitud del fotón$A(p)$es una polarización de 3 vectores ortogonal a$p$. Así, un fotón general es una superposición de ondas monocromáticas con polarizaciones, frecuencias y direcciones arbitrarias.

La amplitud del fotón$A(p)$puede considerarse como la función de onda del fotón en el espacio de momento. Dado que los fotones no son localizables (aunque son localizables aproximadamente), no existe una función de onda de fotones en el espacio de coordenadas con una interpretación de probabilidad de estar localizado en una posición.

La transformada de Fourier de$A(p)$es la llamada señal analítica$A^{(+)}(x)$. Al sumar su complejo conjugado, se obtiene un potencial real de 3 vectores$A(x)$. En términos de esto, las condiciones de masa cero y transversalidad juntas se traducen en las ecuaciones libres de Maxwell escritas en forma de potencial vectorial. Extender el potencial de 3 vectores a un potencial de 4 vectores agregando un componente 0 que se desvanece y permitiendo transformaciones de calibre trae las condiciones a la forma covariante de 4 dimensiones de las ecuaciones libres de Maxwell en el calibre de Lorentz,

$$\nabla \cdot \nabla A(x) = 0,~~~~\nabla \cdot A(x) = 0.$$ En particular, un solo fotón tiene exactamente los mismos grados de libertad que un campo de radiación de vacío clásico.

[Agregado el 6 de julio] Tenga en cuenta que los fotones se acoplan a través de la materia solo a través de la corriente de carga conservada$j(x)$. La conservación de la carga significa que$\partial \cdot j(x)=0$. Por lo tanto la integración por partes implica que en la interacción materia - fotón$\int dx~ j(x)\cdot A(x)$, la parte longitudinal de$A(x)$es irrelevante ya que el término no cambia cuando se agrega a$A(x)$un término longitudinal$\partial V(x)$con escalar$V$. Esto también muestra que los potenciales vectoriales sin masa y la invariancia de calibre van de la mano. También tenga en cuenta que la parte de Coulomb del campo electromagnético no está representada por fotones físicos. (Se puede ver en términos de fotones virtuales; estos no forman una representación causal del grupo de Poincaré, pero tienen todos los 4 momentos posibles, incluidos los taquiónicos y todos los estados de espín 1 posibles).

Los nombres de fotones "longitudinales" y "escalares" ya son incorrectos y no pueden presentar fotones longitudinales. Hay dos tipos de fotones electroescalares longitudinales (de hecho, el componente del campo eléctrico es longitudinal), que NO se cancelan entre sí si "imponemos" una condición de Coulomb en lugar de la condición de Lorentz incorrecta. "Imponer" condiciones de calibre es como decir verdades a medias o mentiras completas, y esto pertenece a la ciencia de la física de la ONU más que a la física, porque uno describe que ciertos conceptos teóricos (ondas de vacío longitudinales) NO PUEDEN EXISTIR en la naturaleza. Tales declaraciones no pueden probarse mediante experimentos (no se puede demostrar que algo NO existe), y probar conceptos mediante experimentos es física, probar declaraciones negativas mediante teorías es NO física.

Tenga en cuenta que "imponer condiciones de calibre" es puramente teórico y no tiene base en experimentos.