Proyección de espín de fotones a un eje arbitrario

De hecho, la razón está relacionada con la ausencia del marco de descanso.

El momento angular con respecto al eje$x$actuando sobre un estado (objeto)$|\psi\rangle$es dado por

Si la partícula está en el marco de reposo, su cantidad de movimiento es$\vec p=0$. En ese caso, los únicos cambios de$|\psi\rangle$inducidas por rotaciones son las que tienen algo que ver con los vectores de polarización o espinores, es decir, con la parte intrínseca (spin) del momento angular.

Sin embargo, si$\vec p\neq 0$, y el momento de un fotón es inevitablemente distinto de cero porque los fotones no pueden tener un marco de reposo, entonces la rotación alrededor$x$también cambia el valor de$\vec p$, asumiendo que$\vec p$está apuntando en una dirección diferente a la$x$. Esto es equivalente a decir que también hay un momento angular orbital distinto de cero,$\vec L=\vec r\times \vec p$.

Así que los mapas de rotación$|\psi\rangle$en un estado completamente diferente, uno con una dirección diferente de$\vec p$. En consecuencia, el estado no es un estado propio de rotaciones alrededor$x$y por lo tanto no es un estado propio de$J_x$, cualquiera.

Para partículas sin masa, solo se pueden encontrar vectores propios de$J_x$para estados de partículas cuyo momento$\vec p$va a lo largo del mismo eje$x$, es decir, uno puede encontrar valores propios de$\vec J\cdot \vec p / |\vec p|$, conocida como la helicidad.

Solo se conserva el momento angular total. Pero incluso si intentara separar artificialmente el giro del fotón (y, de manera similar, los neutrinos de Weyl) de su momento angular orbital, no podrá definir el giro con respecto a otras direcciones que no sean la dirección del movimiento. Es porque los vectores de polarización$\vec \epsilon$de los fotones son transversales a la dirección del movimiento, por lo que no existe ningún estado físico de los fotones que tenga$\vec \epsilon$Paralelo a$\vec p$. Tales estados longitudinales serían necesarios para definir todos$SO(3)$rotaciones de un estado fotónico dado, es decir, para estudiar la transformación del estado bajo todos los componentes de$\vec J$.

Perdón por la reiteración de algunos puntos ya mencionados por Luboš, pero en resumen, el operador de espín de una partícula sin masa no es un vector y, por lo tanto, no se puede definir su proyección espacial.

Para entender la diferencia es importante señalar por qué dicho operador para una partícula masiva es un vector . Es así por la razón explicada por Luboš: el marco del centro de masa admite la simetría de rotación expresada con el grupo SU(2) (también conocido como Spin(3), un grupo que cubre SO(3)) y el respectivo álgebra de Lie${\mathfrak su}(2) = {\mathfrak so}(3)$, el álgebra de vectores euclidianos tridimensionales. La acción de dicha álgebra de Lie sobre los estados de la partícula determina lo que se conoce como operador de espín. También puede consultar ¿Por qué, para una partícula de espín ½, son iguales los posibles resultados de medir la proyección de espín en cualquier dirección? hilo para obtener detalles sobre las partículas de espín-½.

Una partícula sin masa con 4-momentum dado no admite una simetría SO(3) (principalmente porque no hay marcos CoM). Su “pequeño” grupo de simetría es E(2) , donde una interpretación física de los generadores (del grupo de Lie) es una rotación y dos impulsos de Lorentz. No conduce a vectores euclidianos. Ver también el comentario en ¿Por qué el fotón tiene solo dos posibles valores propios de helicidad? para los detalles de la acción del grupo.