¿Cómo se relacionan los dos estados independientes de polarización del fotón con los dos estados de helicidad?

Question

¿Cómo se relacionan los dos estados independientes de polarización del fotón con los dos estados de helicidad?

SRS

(1) En la cuantificación canónica del campo electromagnético libre, la condición de calibre de Coulomb

\begin{matrix} (1) & A^{0} = 0, \nabla \cdot A = 0 \end{matrix}

$A^0=0,~~ \nabla\cdot\textbf{A}=0\tag{1}$ implica que el vector de polarización

ϵ^{μ}

$\epsilon^\mu$ satisface

\begin{matrix} (2) & ϵ^{0} = 0, ϵ \cdot \hat{pag} = 0 \end{matrix}

$\epsilon^0=0,~~\boldsymbol{\epsilon}\cdot\hat{\textbf{p}}=0\tag{2}$ lo que dice que el campo electromagnético tiene dos estados transversales independientes de polarización.

(2) A partir de la teoría de la representación del grupo de Poincaré, se sabe que para los fotones $\textbf{S}\cdot\hat{\textbf{p}}$ tiene valores propios $h=\pm 1$ dónde $\textbf{S}$ denota el operador de espín.

Ambas descripciones anteriores dejan claro que el campo electromagnético tiene dos grados de libertad independientes. La descripción (1) dice que el campo electromagnético tiene dos estados de polarización independientes y la descripción (2) dice que tiene dos estados de helicidad independientes .

Pregunta

$\bullet$ ¿Significa que los estados de polarización son idénticos a los estados de helicidad?

$\bullet$ ¿Existe una correspondencia biunívoca única entre los estados de helicidad y los estados independientes de polarización? En ese caso, $h=+1$ corresponde a qué polarización y $h=-1$ corresponde a cual? ¿Cómo puede entenderse tal correspondencia, si existe?

Aquí se hizo una pregunta similar .

prahar

Los vectores de polarización son las funciones de onda de los fotones (en el espacio de momento) correspondientes a los estados de una helicidad dada.

ana v

debido a que el fotón tiene masa cero y espín uno, solo hay dos estados posibles +1 en la dirección del movimiento y -1 en la dirección del movimiento. Mire las figuras en este enlace para ver la conexión entre la polarización de una onda de luz y el giro del fotón en.wikipedia.org/wiki/Spin_angular_momentum_of_light

Respuestas (2)

¿Cómo se relacionan los dos estados independientes de polarización del fotón con los dos estados de helicidad?

Los vectores de polarización son las funciones de onda de los fotones (en el espacio de momento) correspondientes a los estados de una helicidad dada.
debido a que el fotón tiene masa cero y espín uno, solo hay dos estados posibles +1 en la dirección del movimiento y -1 en la dirección del movimiento. Mire las figuras en este enlace para ver la conexión entre la polarización de una onda de luz y el giro del fotón en.wikipedia.org/wiki/Spin_angular_momentum_of_light

Sean E. Lago · Answer 1

Los estados de helicidad definida son estados de espín definido medidos a lo largo de un eje particular. En principio, puede usar cualquier eje para definir su base propia de giro, solo que no se hace comúnmente porque el resultado no es invariante de Lorentz y debe tener cuidado con los giros que están prohibidos por la falta de un estado de helicidad 0. Se puede demostrar que existe un mapeo uno a uno único entre la elección de la base de espín y la base del estado de polarización. Los vectores de polarización, $\boldsymbol{\epsilon}_\lambda$ , manejar ese mapeo (el $\lambda$ existen índices en el espacio de espín/polarización, y el índice espacial existe en el espacio físico).

"Se puede demostrar que existe un mapeo único uno a uno entre la elección de la base de espín y la base del estado de polarización". ¿ Puede mostrar esto o sugerir una referencia? @SeanE.Lake
La polarización de una onda se establece mediante una combinación lineal de los $\mathbf{\epsilon}_r$ , ¿bien? El índice $r$ vive en el espacio de la helicidad, y los componentes vectoriales de cada $\mathbf{\epsilon}$ vivir en el espacio físico/polarización. En otras palabras, asumes que este es el caso cuando usas $\mathbf{\epsilon}_r$ . @SRS

SRS · Answer 2

En el medidor de radiación, el potencial de 3 vectores tiene la expansión de modo de Fourier más general dada por

\begin{matrix} (1) & A (X) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3} \sqrt{2 {mi}_{pag}}} \sum_{r = 1}^{2} [ϵ_{r} (pag) a_{pag, r} {mi}^{i pag \cdot X} + ϵ_{r}^{*} (pag) a_{pag, r}^{†} {mi}^{- i pag \cdot X}] . \end{matrix}

$\textbf{A}(\textbf{x})=\int\frac{d^3\textbf{p}}{(2\pi)^3\sqrt{2E_{\textbf{p}}}}\sum\limits_{r=1}^{2}[\boldsymbol{\epsilon}_r(\textbf{p})a_{\textbf{p},r}e^{i\textbf{p}\cdot\textbf{x}}+\boldsymbol{\epsilon}^*_r(\textbf{p})a^\dagger_{\textbf{p},r}e^{-i\textbf{p}\cdot\textbf{x}}].\tag{1}$ Usando la definición de operador de giro

S^{i j} = \int d^{3} X : (A^{i} \partial_{0} A^{j} - A^{j} \partial_{0} A^{i}) :

$S^{ij}=\int d^3\textbf{x}:(A^i\partial_0 A^j-A^j\partial_0 A^i):$ y Eq.(1), se obtiene después de realizar la integral sobre el espacio

S^{i j} = i \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \sum_{r, s} [ϵ_{r}^{i} (pag) ϵ_{s}^{j *} (pag) - ϵ_{s}^{i *} (pag) ϵ_{r}^{j} (pag)] a_{pag, r}^{†} a_{pag, s} .

$S^{ij}=i\int\frac{d^3\textbf{p}}{(2\pi)^3}\sum\limits_{r,s}[\epsilon_r^i(\textbf{p})\epsilon_s^{j*}(\textbf{p})-\epsilon_s^{i*}(\textbf{p})\epsilon_r^j(\textbf{p})]a^\dagger_{\textbf{p},r}a_{\textbf{p},s}.$ La acción del operador de giro.

S^{i j}

$S^{ij}$ , como se obtiene en la Ec. (2), en un estado de una partícula

a_{k, m}^{†} | 0 ⟩

$a^\dagger_{\textbf{k},m}|0\rangle$ , uno encuentra,

S^{i j} a_{k, metro}^{†} | 0 ⟩ = i \sum_{s = 1}^{2} [ϵ_{metro}^{i} (pag) ϵ_{s}^{j *} (k) - ϵ_{s}^{i *} (k) ϵ_{metro}^{j} (k)] a_{k, s}^{†} | 0 ⟩ .

$S^{ij}a^\dagger_{\textbf{k},m}|0\rangle=i\sum\limits_{s=1}^{2}\Bigg[\epsilon_m^i(\textbf{p})\epsilon_s^{j*}(\textbf{k})-\epsilon_s^{i*}(\textbf{k})\epsilon_m^j(\textbf{k})\Bigg]a^\dagger_{\textbf{k},s}|0\rangle.$

Elijamos $\textbf{k}=(0,0,k)$ de modo que la helicidad se mide por $\textbf{S}\cdot\hat{\textbf{k}}=S^3=S^{12}$ . Nosotros elegimos, $\boldsymbol{\epsilon}_{1}(\textbf{k})=1/\sqrt{2}(1,i,0)$ y $\boldsymbol{\epsilon}_{2}(\textbf{k})=1/\sqrt{2}(1,-i,0)$ . Por lo tanto,

S^{3} a_{k, 1}^{†} | 0 ⟩ = (+ 1) a_{k, 1}^{†} | 0 ⟩, S^{3} a_{k, 2}^{†} | 0 ⟩ = (- 1) a_{k, 2}^{†} | 0 ⟩ .

$S^3a^\dagger_{\textbf{k},1}|0\rangle=(+1)a^\dagger_{\textbf{k},1}|0\rangle,\\ S^3a^\dagger_{\textbf{k},2}|0\rangle=(-1)a^\dagger_{\textbf{k},2}|0\rangle.$

Conclusión Un estado de una partícula con polarización circular derecha corresponde a la helicidad $+1$ , y el estado de una partícula con polarización circular izquierda corresponde a un estado con helicidad $-1$ .

Actualizar

El campo eléctrico está dado por

\begin{matrix} (2) & mi (X) = - \frac{\partial A}{\partial t} = (- i) \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \sqrt{\frac{{mi}_{pag}}{2}} \sum_{r = 1}^{2} [ϵ_{r} (pag) a_{pag, r} {mi}^{i pag \cdot X} - ϵ_{r}^{*} (pag) a_{pag, r}^{†} {mi}^{- i pag \cdot X}] . \end{matrix}

$\textbf{E}(\textbf{x})=-\frac{\partial\textbf{A}}{\partial t}=(-i)\int\frac{d^3\textbf{p}}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{E_\textbf{p}}{2}}\sum\limits_{r=1}^{2}[\boldsymbol{\epsilon}_r(\textbf{p})a_{\textbf{p},r}e^{i\textbf{p}\cdot\textbf{x}}-\boldsymbol{\epsilon}^*_r(\textbf{p})a^\dagger_{\textbf{p},r}e^{-i\textbf{p}\cdot\textbf{x}}].\tag{2}$ y

\begin{matrix} (3) & B (X) = \nabla \times A = (i) \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \sqrt{\frac{{mi}_{pag}}{2}} \sum_{r = 1}^{2} [\hat{pag} \times ϵ_{r} (pag) a_{pag, r} {mi}^{i pag \cdot X} - \hat{pag} \times ϵ_{r}^{*} (pag) a_{pag, r}^{†} {mi}^{- i pag \cdot X}] . \end{matrix}

$\textbf{B}(\textbf{x})=\nabla\times\textbf{A}=(i)\int\frac{d^3\textbf{p}}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{E_\textbf{p}}{2}}\sum\limits_{r=1}^{2}[\hat{\textbf{p}}\times\boldsymbol{\epsilon}_r(\textbf{p})a_{\textbf{p},r}e^{i\textbf{p}\cdot\textbf{x}}-\hat{\textbf{p}}\times\boldsymbol{\epsilon}^*_r(\textbf{p})a^\dagger_{\textbf{p},r}e^{-i\textbf{p}\cdot\textbf{x}}].\tag{3}$ donde usé el hecho de que

E_{p} = | p |

$E_{\textbf{p}}=|\textbf{p}|$ . Usando

\hat{p} = (0, 0, 1)

$\hat{\textbf{p}}=(0,0,1)$ , debe comprobarse fácilmente que los operadores

E \pm i B

$\textbf{E}\pm i\textbf{B}$ actuando sobre el vacío

| 0 ⟩

$|0\rangle$ crea respectivamente estados de fotón de una partícula con estados de polarización circulares a la derecha y circulares a la izquierda. Me da pereza resolver el álgebra.

Referencia Una introducción moderna a la teoría cuántica de campos-Michele Maggiore.

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