¿Cuál es el límite sin masa del electromagnetismo masivo?

Hay una forma sencilla de entender la electrodinámica masiva Lagrangiana y el límite, que es el mecanismo de Stueckelberg (Affine Higgs). Esto es matemáticamente equivalente a la respuesta de DJBunk, pero es un poco más intuitivo físicamente.

Considere un modelo abeliano de Higgs, con un vector potencial electrodinámico sin masa$A$y un campo escalar con$\phi^4$potencial

Luego considere el límite que la carga e en$\phi$tiende a cero mientras que la masa del bosón de Higgs tiende a infinito ($a\rightarrow\infty$), de tal manera que el producto$ea$permanece constante. En este límite, puedes escribir el escalar complejo como:

Y las excitaciones R tienen una masa que va como a, y tiende al infinito, mientras que las$\theta$las excitaciones son consumidas por el campo A y juntas forman un bosón de norma de masa ea. Este es el modelo de electrodinámica masiva, y este límite muestra por qué es renormalizable: puede llevar e a cero en una teoría de calibre U (1), porque no hay cuantificación de carga.

En este modelo, es obvio cuál es el límite sin masa del electromagnetismo masivo: este es el límite que$e=0$para el campo de Higgs. En este caso, el Higgs está desacoplado del campo de calibre y solo tiene un campo de calibre sin masa. El grado de libertad longitudinal simplemente se desacopla. Esta es la forma más clara de ver por qué debe ser así en mi opinión.

Cuando la masa es pequeña, el grado de libertad longitudinal, el que proviene del Higgs infinitamente pesado en este modelo, está casi desacoplado, por lo que el límite es suave. La teoría se puede analizar comenzando con el electromagnetismo sin masa y agregando el campo de Higgs como una perturbación (siempre que trabaje en el formalismo potencial efectivo).

Comenzando con el Lagrangiano para un masivo$U(1)$bosón vectorial$A_\mu$que como dijiste tiene 3 DOF:

ahora si cambiamos las variables a$A_\mu\rightarrow A_\mu - \partial_\mu \theta$y tenemos (Tenga en cuenta que$F^{\mu \nu}$y por lo tanto$F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}$es invariante bajo esta transformación.):

y reescalar$\theta \rightarrow \frac{1}{m}\theta$

El punto crucial ahora es que el Lagrangiano tiene una redundancia de calibre ($A_\mu \rightarrow A_\mu +\frac{1}{m} \partial_\mu \psi$,$\theta \rightarrow \theta + \psi$) que disminuye el DOF de$A_\mu$por 1, hasta 2 DOF. Puede objetar que el término de masa todavía está allí, pero hay un término de mezcla entre$A_\mu$y$\theta$por lo tanto, no es correcto pensar en estos como DOF de propagación independiente.

Finalmente, a muy altas energías, cualquier operador con una dimensión de masa positiva es irrelevante, por lo que tendríamos

y$A_\mu$tiene solo 2 DOF y hay otro DOF (gratuito) que está desacoplado. El límite de alta energía es el límite sin masa ya que necesitamos una escala para comparar la masa.

En lo que respecta a los versos clásicos cuánticos, mi análisis fue esencialmente clásico, pero pasa por el caso cuántico con la advertencia de que tendremos que agregar términos de fijación de calibre para la redundancia de calibre que he introducido.

Podrías preguntar, bueno, ¿qué sucede a baja energía? Entonces, deberíamos habernos quedado con el Lagrangiano original con el que comenzamos, ya que funciona bien cuando el término de masa es relevante y solo tendríamos un campo vectorial con 3 DOF.

En cuanto a su pregunta sobre qué le sucede al electrón en todo esto, el acoplamiento al campo de calibre original será de la forma

que bajo el cambio de variables$A_\mu\rightarrow A_\mu - \partial_\mu \theta$va a

bajo integración por partes el último término es

y$\partial_\mu J^\mu=0$para una corriente conservada, lo cual es lógicamente necesario si queremos acoplarle un campo de norma sin masa.

Tenga en cuenta que esto contrasta marcadamente con una teoría de calibre no abeliana con términos de masa, ya que los posibles bosones de Goldstone forman un modelo sigma no lineal que no es renormalizable. Ver ¿Qué evidencia hay para el mecanismo de higgs electrodébil?

Como palabra final, creo que la respuesta de Ron es más concisa y responde mucho mejor a su pregunta original. Eliminaría mi respuesta, pero parece que algunas personas la han encontrado útil, así que la dejaré.

QED es el límite sin masa de QED masivo. Los modos transversales se suprimen cada vez más a medida que la masa se vuelve diminuta. Esto ya se puede ver en la versión que no interactúa, donde$e=0$, para que el campo de fotones se desacople.