¿Siempre se suprime el tercer vector de espín de un fotón?

Las direcciones de polarización del fotón sólo son transversales cuando está libre en el espacio. La polarización de un fotón que interactúa o un fotón con condiciones de contorno no libres no es transversal en general. Un ejemplo es que las ondas electromagnéticas poseen polarizaciones longitudinales en guías de ondas.

Otro ejemplo relativamente simple donde (una cierta combinación de) las polarizaciones transversal y escalar se vuelven físicas cuando el fotón es un mediador de una interacción de Coulomb. Esto se puede ver de la siguiente manera:

El propagador de fotones covariante (fuera de la carcasa) sin fijación de calibre tiene la forma:

$$D^{\mu\nu}(k) = \frac{1}{k^2}\epsilon^{\mu}_{\lambda}(\mathbf{k}) \epsilon^{\nu\lambda}(\mathbf{k}) = \frac{g^{\mu\nu}}{k^2}$$

Donde se adopta la convención de suma de Minkowski:

$$a.b = a^{\lambda} b_{\lambda} = - a^0b^0+a^1b^1+a^2b^2 + a^3b^3$$

Los cuatro vectores de polarización se pueden elegir para que sean ortonormales:

$$\epsilon_{\mu}^{\lambda}(\mathbf{k}) \epsilon_{\nu\lambda}(\mathbf{k}) = g^{\mu\nu}$$

Por lo tanto, tres de ellos deberían ser de tipo espacial y uno de ellos de tipo temporal.

Sin pérdida de generalidad se pueden elegir como:

Los vectores de polarización transversal

$$\epsilon_r^{\mu}= [0, \mathbf{\epsilon}_r], \ \ r=1,2$$

Que se definen como ortogonales al momento

$$\mathbf{\epsilon}_r . \mathbf{k} = 0$$

El vector de polarización escalar

$$\epsilon_0^{\mu} \equiv n^{\mu} = [1, 0, 0, 0]$$

El vector de polarización longitudinal:

$$\epsilon_3^{\mu} = [0,\frac{\mathbf{k}}{k}]$$

El vector de polarización longitudinal se puede escribir covariantemente como:

$$\epsilon_3^{\mu} = \frac{k^{\mu} - (k.n) n^{\mu}}{[ (k.n) ^2- k^2]^{\frac{1}{2}}}$$

Sustituyendo en el propagador obtenemos

$$D^{\mu\nu}(k) = \frac{1}{k^2}\big [\sum_{r=1,2} \epsilon^{\mu}_{r}(\mathbf{k}) \epsilon^{\nu}_{r}(\mathbf{k}) + \frac{[k^{\mu} - (k.n) n^{\mu}][k^{\nu} - (k.n) n^{\nu}]}{[ (k.n) ^2-k^2]} + n^{\mu}n^{\nu} \big ]$$

El propagador se puede organizar como:

$$D^{\mu\nu}(k) = D_{\mathrm{trans}}^{\mu\nu} + D_{\mathrm{Coulomb}}^{\mu\nu} + D_{\mathrm{resid}}^{\mu\nu}$$

Con

$$D_{\mathrm{trans}}^{\mu\nu}(k) = \frac{1}{k^2}\sum_{r=1,2} \epsilon^{\mu}_{r}(\mathbf{k}) \epsilon^{\nu}_{r}(\mathbf{k})$$

$$D_{\mathrm{Coulomb}}^{\mu\nu}(k) = \frac{n^{\mu}n^{\nu}}{[ (k.n)^2-k^2]}$$

$$D_{\mathrm{resid}}^{\mu\nu}(k) = \frac{k^{\mu} k^{\nu} - (k^{\mu} n^{\nu} + k^{\nu} n^{\mu})(k.n)}{k^2[ (k.n) ^2-k^2]}$$

El culombio y las partes residuales son combinaciones de las partes escalar y longitudinal del propagador.

La parte residual siempre da una magnitud que se desvanece cuando se alterna entre dos corrientes conservadas ($k^{\mu}J_{\mu} = 0$):

$$D_{\mathrm{resid}}^{\mu\nu} J^{(1)}_{\mu}J^{(2)}_{\nu} = 0$$

Por lo tanto, no contribuye a los observables físicos. La parte de Coulomb es solo la transformada de Fourier del potencial instantáneo de Coulomb:

$$D_{\mathrm{Coulomb}}^{\mu\nu}(x-y) = \delta^{\mu0} \delta^{\nu0}\frac{\delta(x_0-y_0)}{4 \pi| \mathbf{x}-\mathbf{y}|}$$

Por lo tanto, los fotones libres nunca pueden resultar en una interacción de Coulomb.