La prueba geométrica de Schutz de que el intervalo del espacio-tiempo es invariante

Question

La prueba geométrica de Schutz de que el intervalo del espacio-tiempo es invariante

Levitt

Estoy tratando de entender la prueba de que el intervalo de espacio-tiempo es invariante para dos observadores inerciales. Sé que es fácil llegar al resultado usando la transformación de Lorentz, pero estoy tratando de entender la forma geométrica de hacerlo, específicamente como se hace en Schutz . La prueba comienza en la página 9 en el enlace de arriba. Entrando en detalles no pude entender la siguiente parte.

Una vez que llegamos al resultado $\Delta \bar s^2 = \phi(v) \Delta s^2$ , nos dispusimos a probar primero que $\phi(v) = \phi(|v|)$ y luego $\phi(v) = 1$ . Para probar la primera parte, elegimos una clase particular de par de observadores $O$ y $\bar O$ donde la velocidad relativa $v$ es perpendicular a la longitud de la varilla en $y$ -eje (esencialmente $y=\bar y$ y $z= \bar z$ ) y luego demostrar que $\phi(v) = \phi(|v|)$ .

La siguiente parte afirma que este carácter de $\phi(v)$ es cierto para cualquier clase general de par de observadores (por ejemplo $O$ y $\bar O$ donde la velocidad relativa $v$ tal que $y \neq \bar y$ y $z \neq \bar z$ ). No pude entender esta extensión. Estoy buscando alguna explicación en este paso. Gracias, cualquier ayuda es apreciada.

Levitt

Cambié el enlace, a google books.

mike campana

También estoy totalmente desconcertado por este paso en la lógica.

mike campana

Veo que nadie ha respondido a tu pregunta, pero me preguntaba si has podido responderla por ti mismo. Estoy realmente confundido por el salto en la lógica de la prueba de

ϕ (v) = ϕ (| v |)

$\phi(\mathbf{v}) = \phi(\left|\mathbf{v}\right|)$ . ¿Lo entiendes (ahora que has tenido un par de años para pensarlo :))?

Levitt

Hola, no recuerdo si me lo he podido contestar. Ha pasado mucho tiempo desde la última vez que trabajé en relatividad. Pero pasaré un tiempo en los próximos días para ver si puedo entenderlo, aunque no puedo garantizar si seré capaz de resolverlo. Te dejaré saber si tengo algo que decir. Si está atascado en este punto, le sugiero que deje esta parte en paz y continúe.

Respuestas (2)

La prueba geométrica de Schutz de que el intervalo del espacio-tiempo es invariante

También estoy totalmente desconcertado por este paso en la lógica.
Veo que nadie ha respondido a tu pregunta, pero me preguntaba si has podido responderla por ti mismo. Estoy realmente confundido por el salto en la lógica de la prueba de $\phi(\mathbf{v}) = \phi(\left|\mathbf{v}\right|)$ . ¿Lo entiendes (ahora que has tenido un par de años para pensarlo :))?
Hola, no recuerdo si me lo he podido contestar. Ha pasado mucho tiempo desde la última vez que trabajé en relatividad. Pero pasaré un tiempo en los próximos días para ver si puedo entenderlo, aunque no puedo garantizar si seré capaz de resolverlo. Te dejaré saber si tengo algo que decir. Si está atascado en este punto, le sugiero que deje esta parte en paz y continúe.

Ashley Chraya · Answer 1

Sí, la lógica provista en Schutz es incorrecta, aunque la lógica correcta sería que el espacio y el tiempo son homogéneos e isotrópicos. En realidad, ϕ puede ser una función de la velocidad y de las coordenadas del espacio-tiempo, pero debido a la homogeneidad del espacio, por un momento podemos decir que la función depende de la velocidad solo porque la homogeneidad del espacio dice que cada punto en el espacio es equivalente, por lo tanto, cualquiera que sea el marco de coordenadas O ' que elegimos se puede cambiar al origen del marco original. Ahora, por isotropía del espacio, podemos decir que donde sea que se mueva el marco O 'no importa en qué dirección, daría el mismo resultado de algún experimento (que llamamos evento) realizado. Por lo tanto, la función solo depende de la velocidad y otros argumentos. dada por schutz se puede aplicar para obtener ϕ(v)=1.

Frobenius · Answer 2

Sean dos sistemas inerciales $\;\mathrm S_1,\mathrm S_2\;$ con eje común $\;x_1\equiv x_2\;$ y ejes paralelos $\;y_1\parallel y_2\;$ y $\;z_1\parallel z_2$ . El sistema $\;\mathrm S_2\;$ se mueve a lo largo del eje común $\;x_1\equiv x_2\;$ con vector de velocidad constante $\;\boldsymbol{\upsilon}\;$ como en la figura. Para los intervalos de espacio-tiempo

\begin{matrix} (01) & d s_{1}^{2} = d t_{1}^{2} - d X_{1}^{2} - d y_{1}^{2} - d z_{1}^{2}, d s_{2}^{2} = d t_{2}^{2} - d X_{2}^{2} - d y_{2}^{2} - d z_{2}^{2} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm ds^2_1 \boldsymbol{=}\mathrm dt^2_1\!\boldsymbol{-}\!\mathrm dx^2_1\!\boldsymbol{-}\!\mathrm dy^2_1\!\boldsymbol{-}\!\mathrm dz^2_1\,, \quad \mathrm ds^2_2 \boldsymbol{=}\mathrm dt^2_2\!\boldsymbol{-}\!\mathrm dx^2_2\!\boldsymbol{-}\!\mathrm dy^2_2\!\boldsymbol{-}\!\mathrm dz^2_2 \tag{01}\label{eq01} \end{equation}$ tenemos

\begin{matrix} (02) & d s_{2}^{2} = ϕ (υ) d s_{1}^{2} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm ds^2_2 \boldsymbol{=}\phi\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\mathrm ds^2_1 \tag{02}\label{eq02} \end{equation}$ dónde

ϕ (υ)

$\;\phi\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\;$ una función de la variable vectorial

υ

$\;\boldsymbol{\upsilon}\;$ estar determinado.

Ahora, supongamos un tercer sistema $\;\mathrm S_3\;$ en reposo con respecto a $\;\mathrm S_2\;$ con eje común $\;y_2\equiv y_3\;$ y ejes antiparalelos $\;x_3\parallel \boldsymbol{-} x_2\;$ y $\;z_3\parallel \boldsymbol{-} z_2\;$ . Entonces

\begin{matrix} (03) & d s_{3}^{2} = d s_{2}^{2} \overset{(02)}{= =} ϕ (υ) d s_{1}^{2} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm ds^2_3 \boldsymbol{=}\mathrm ds^2_2 \stackrel{\eqref{eq02}}{\boldsymbol{=\!=}}\phi\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\mathrm ds^2_1 \tag{03}\label{eq03} \end{equation}$

También deja un cuarto sistema $\;\mathrm S_4\;$ en reposo con respecto a $\;\mathrm S_1\;$ con eje común $\;y_4\equiv y_1\;$ y ejes antiparalelos $\;x_4\parallel \boldsymbol{-} x_1\;$ y $\;z_4\parallel \boldsymbol{-} z_1\;$ . Entonces el sistema $\;\mathrm S_4\;$ se mueve con respecto a $\;\mathrm S_3\;$ con el vector de velocidad constante $\;\boldsymbol{\upsilon}\;$ a lo largo del eje común $\;x_3\equiv x_4$ . La configuración de los sistemas $\;\mathrm S_3,\mathrm S_4\;$ es en todos los aspectos idéntico al del $\;\mathrm S_1,\mathrm S_2\;$ (esto se ve más claro viendo la Figura de espaldas). Entonces

\begin{matrix} (04) & d s_{4}^{2} = ϕ (υ) d s_{3}^{2} \overset{(03)}{= =} ϕ^{2} (υ) d s_{1}^{2} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm ds^2_4 \boldsymbol{=}\phi\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\mathrm ds^2_3\stackrel{\eqref{eq03}}{\boldsymbol{=\!=}}\phi^2\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\mathrm ds^2_1 \tag{04}\label{eq04} \end{equation}$

Ahora el sistema $\;\mathrm S_1\;$ está en reposo con respecto a $\;\mathrm S_4\;$ entonces

\begin{matrix} (05) & d s_{1}^{2} = d s_{4}^{2} \overset{(04)}{= =} ϕ^{2} (υ) d s_{1}^{2} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm ds^2_1\boldsymbol{=}\mathrm ds^2_4\stackrel{\eqref{eq04}}{\boldsymbol{=\!=}}\phi^2\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\mathrm ds^2_1 \tag{05}\label{eq05} \end{equation}$ eso es lo que debemos tener

\begin{matrix} (06) & ϕ^{2} (υ) = 1 \end{matrix}

$\begin{equation} \phi^2\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{=}1 \tag{06}\label{eq06} \end{equation}$ o

\begin{matrix} (07) & ϕ (υ) = \pm 1 \end{matrix}

$\begin{equation} \phi\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{=\pm}1 \tag{07}\label{eq07} \end{equation}$ Pero para

υ = 0

$\;\boldsymbol{\upsilon=0}\;$ los sistemas

S_{1}, S_{2}

$\;\mathrm S_1,\mathrm S_2\;$ son idénticos, por lo que en

(02)

$\eqref{eq02}$ Debemos tener

d s_{2}^{2} = d s_{1}^{2}

$\;\mathrm ds^2_2 \boldsymbol{=}\mathrm ds^2_1\;$ , eso es

ϕ (0) = + 1

$\;\phi\left(\boldsymbol{0}\right)\boldsymbol{=+}1\;$ y

(07)

$\eqref{eq07}$ rendimientos

\begin{matrix} (08) & ϕ (υ) = + 1, para cualquier υ \end{matrix}

$\begin{equation} \phi\left(\boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{=+}1\,, \quad \text{for any } \boldsymbol{\upsilon} \tag{08}\label{eq08} \end{equation}$

La prueba geométrica de Schutz de que el intervalo del espacio-tiempo es invariante

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mike campana

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