¿Las transformaciones de Lorentz son transformaciones lineales? [duplicar]

El espacio de Minkowski es un espacio afín real de dimensión$4$cuyo espacio de traducciones está dotado de una métrica de tipo lorentziano.

Un espacio afín (real) es un triple$(\mathbb A, V, \vec{})$, dónde$\mathbb A$es un conjunto cuyos elementos son dichos puntos ,$V$es un espacio vectorial (real) y$\vec{}$es un mapa$\vec{} : \mathbb A \times \mathbb A \to V$con las siguientes propiedades,

$$\forall q \in \mathbb A\:, \forall v \in V\:, \exists \mbox{ and is unique } p \in \mathbb A\quad \mbox{such that}\quad \vec{qp} = v\:,\tag{1}$$

$$\vec{pq} + \vec{qr} = \vec{pr}\quad \forall p, q,r \in \mathbb A\:.\tag{2}$$

por definición, la dimensión del espacio afín es la de$V$, cuyos elementos son dichas traducciones .

A partir de ahora, si$p,q\in \mathbb A$a$v \in V$,

$$p= q+ v$$

medio

$$\vec{qp}=v\:.$$

Forma (1) esta notación está bien planteada.$q+v$es la acción de la traducción$v$en el punto$q$. Esta acción es transitiva y libre, su existencia corresponde físicamente a la homogeneidad tanto del espacio como del tiempo en relatividad especial.

Asumiendo que$V$es de dimensión finita, si uno fija$o \in \mathbb A$y una base$e_1,\ldots, e_n \in V$, un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio afín$\mathbb A$ con origen$o$y hachas$e_1,\ldots, e_n$es el mapa biyectivo

$$\mathbb R^n \ni (x^1,\ldots, x^n) \mapsto o + \sum_{j=1}^n x^je_j \in \mathbb A$$ Una vez más, usando (1) uno ve que, de hecho, el mapa de arriba es biyectivo y por lo tanto identifica$\mathbb A$con$\mathbb R^n$.

Cambiando$o$a$o'$y la base$e_1,\ldots, e_n$a la base$e'_1,\ldots, e_n'$, se obtiene un sistema de coordenadas cartesianas diferente$x'^1,\ldots, x'^n$. Simplemente se demuestra que la regla para pasar del último sistema de coordenadas al primero tiene la forma

$$x'^a = c^a+ \sum_{j=1}^n {A^a}_j x^j \tag{3}$$ para$n$coeficientes constantes$c^j$y un no singular$n\times n$matriz de coeficientes${A^a}_j$.

Dicha matriz verifica

$$e_k = \sum_{i=1}^n {A^i}_k e'_i\tag{3'}$$

mientras que los coeficientes$c^k$son los componentes del vector$\vec{oo'}$.

(De hecho, la estructura afín da lugar a una estructura analítica real natural diferenciable en$\mathbb A$de dimensión$n$.)

Un espacio afín real equipado con un (pseudo) producto escalar en$V$se llama (pseudo)espacio euclidiano .

Espacio-tiempo de Minkowski$\mathbb M^4$es un espacio afín (real) de cuatro dimensiones equipado con un pseudo producto escalar$g: V\times V \to \mathbb R$de tipo lorentziano .

"De tipo lorentziano" significa que existen bases,$e_0,e_1,e_2,e_3$, en$V$tal que (adopto aquí la convención$-+++$)

$$g(e_0,e_0)=-1 \:,\quad g(e_i,e_i) = 1 \mbox{ if $i=1,2,3$}\:,\quad g(e_i,e_j) =0 \mbox{ if $i\neq j$.}\tag{4}$$

Estas bases se llaman bases minkowskianas . grupo lorentz$O(1,3)$no es más que el grupo de matrices$\Lambda$conectando pares de bases minkowskianas. Por lo tanto, se define por

$$O(1,3) := \left\{ \Lambda \in M(4,\mathbb R) \:|\: \Lambda \eta \Lambda^t = \eta \right\}$$

dónde$\eta = diag(-1,1,1,1)$es la matriz que representa la métrica$g$en (4) en cada base minkowskiana.

Un sistema de coordenadas minkowskiano en$\mathbb M^4$es un sistema de coordenadas cartesianas cuyos ejes son una base minkowskiana.

Las transformaciones de Lorentz son transformaciones de coordenadas entre pares de sistemas de coordenadas de Minkowski con el mismo origen (de modo que$c^k=0$en 3)). Así tienen la forma

$$x'^a = \sum_{j=1}^n {\Lambda^a}_j x^j$$

para algunos$\Lambda \in O(1,3)$. Si admitimos diferentes orígenes obtenemos las llamadas transformaciones de Poincaré

$$x'^a = c^a+ \sum_{j=1}^n {\Lambda^a}_j x^j \:.$$

Al considerar las transformaciones de Lorentz como transformaciones de coordenadas, su linealidad formal no juega un papel físico relevante, ya que solo refleja la elección inicial arbitraria del mismo origen para ambos marcos de referencia. Sin embargo, estas transformaciones son también transformaciones de bases (3') en el espacio de traslaciones (el espacio tangente), en este caso la linealidad es natural porque refleja la estructura espacial lineal natural de las traslaciones.

Estrictamente en el sentido de transformadas de coordenadas en la relatividad especial (es decir, no en la relatividad general), las transformadas de Lorentz son en realidad homogéneas , no lineales. La linealidad es como acertadamente observas, es una propiedad formal de la transformación solo en un determinado sistema de coordenadas, el sistema cartesiano. No es necesario recurrir a identificar el espacio-tiempo con un espacio vectorial.

Entonces, ¿qué significa homogeneidad? Significa que la transformación no estropea la invariancia traslacional . La traslación de un conjunto de puntos coloca un conjunto de líneas paralelas a través de cada punto y luego mueve cada uno de los puntos a lo largo de su línea la misma distancia. La transformación de Lorentz tiene esta agradable propiedad de que dos líneas paralelas arbitrarias en cualquier lugar del espacio (es decir, no solo las del origen) permanecen paralelas incluso después de la transformación.

Esta es una declaración geométrica independiente de las coordenadas y físicamente un requisito de la misma velocidad para tener un significado invariable. Recuerda que estamos en un espacio-tiempo, por lo que una línea recta es en realidad una partícula que se mueve a una velocidad constante a través del espacio y una familia de líneas paralelas es una familia de objetos a la misma velocidad. Es decir, cualquier observador observa que dos objetos a la misma velocidad tienen la misma velocidad.

Ahora suponemos que podemos elegir un sistema de coordenadas en el que cada familia de líneas paralelas se pueda caracterizar por una única pendiente de desplazamiento de coordenadas: múltiplos de módulo de esa pendiente. Requerimos que una transformación de Lorentz conserve esta estructura, lo que finalmente conduce a la linealidad de la transformación en este sistema de coordenadas tan especial.

Este conjunto de coordenadas en las que podemos identificar líneas paralelas por pendientes de coordenadas, son las coordenadas cartesianas y un cierto "tiempo natural". Las familias construidas de líneas paralelas serían entonces una especie de espacio proyectivo (no se aplicaría la definición de la introducción del artículo wiki, pero la estructura es realmente la misma).

Una de las propiedades de un espacio proyectivo es la homogeneidad, la propiedad de ser invariante a la multiplicación por un número. Así, el nombre de homogeneidad de Lorentz se transforma - induce un isomorfismo de espacios proyectivos ("homogéneos").

La relatividad especial tiene lugar en el espacio de Minkowski , que es el espacio vectorial $\mathbb{R}^4$equipado con el producto interno dado por la matriz

$$G = \left(\begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right) \text{ with inner product} \langle x,y \rangle := x^T G y \; \forall \; x,y \in \mathbb{R}^4$$

No somos libres de elegir ninguna base de este espacio vectorial si queremos conservar la métrica plana de Minkowski$G$en su origen dado, es decir, no todas las transformaciones de base (o coordenadas ) en$\mathrm{GL}(4,\mathbb{R})$son adecuados para dejar la física invariante. El conjunto de transformaciones de base que conservan el producto interior se llama isometrías , y eso es precisamente lo que el grupo de Lorentz $\mathrm{SO}(1,3)$es - el grupo de transformaciones que dejan invariante el producto interno de Minkowski, es decir, todas las matrices$M$cumpliendo

$$M^T G M = M$$

Si observa la relatividad especial en un contexto un poco más general, es decir, en variedades arbitrarias de cuatro dimensiones donde cada espacio tangente lleva la métrica de Minkowski, entonces debe entender una transformación de Lorentz como un cambio de coordenadas en la variedad cuyo jacobiano es un elemento de$\mathrm{SO}(1,3)$en cada punto (es decir, en todos los espacios tangentes), ya que los cambios de coordenadas actúan sobre los espacios tangentes por sus jacobianos.

De cualquier manera, las transformaciones de Lorentz$\mathrm{SO}(1,3)$ son transformaciones lineales en los espacios tangentes, inducidas por una transformación de coordenadas.

Todo lo que significa es que una gráfica de la variable dependiente transformada contra las variables independientes es lineal, una línea recta:

$$x' = Ax +Bt + C$$