Derivación de la transformación de Lorentz

No deduciré la transformación (que se ha hecho en innumerables libros y artículos, estoy seguro de que puede encontrarlos usted mismo), sino que intentaré explicar por qué la fórmula que propone no puede ser correcta.

Para empezar, observa que como no tocas$y$y$z$, también podríamos trabajar en dimensiones 1+1. También, deja$c=1$para que no nos molesten las constantes sin importancia (puede restaurarlo al final al exigir que las fórmulas tengan las unidades correctas). Entonces es útil repararmetrizar la transformación de la siguiente manera

$$x' = \gamma(x - vt) = \cosh \eta x - \sinh \eta t$$ $$t' = \gamma(t - vx) = -\sinh \eta x + \cosh \eta t$$ donde introdujimos la rapidez $\eta$por $\tanh \eta = v$y esto por identidades trigonométricas estándar (hiperbólicas) implica $\cosh \eta = \gamma = {1 \over \sqrt{1 - v^2}}$y $v \gamma = \sinh \eta$, por lo que esta reparametrización es efectivamente correcta.

Ahora, espero que esto te recuerde un poco a algo. En el plano euclidiano bidimensional tenemos que las rotaciones alrededor del origen tienen la forma

$$x' = \cos \phi x + \sin \phi y$$ $$y' = -\sin \phi y + \cos \phi x$$ y esto de hecho no es una coincidencia. Las rotaciones conservan una longitud de vector en el plano euclidiano $x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2$y de manera similar, las transformaciones de Lorentz conservan el intervalo de espacio-tiempo (que es un notian de longitud en el espacio-tiempo de Minkowski) $x'^2 - t'^2 = x^2 - t^2.$Puede verificar por sí mismo que solo la transformación indicada con senos y cosenos hiperbólicos puede conservarla y, en consecuencia, el cambio que introdujo estropeará esta importante propiedad. Además, si está familiarizado con fenómenos como la relatividad de la simultaneidad, también podría argumentar por motivos físicos que su cambio propuesto no puede conducir a resultados físicos.

Por cierto, recientemente se ha hecho una pregunta similar a la suya, a saber, cómo derivar que la transformación es lineal simplemente debido a la preservación del intervalo de espacio-tiempo . Es posible que desee comprobarlo también.

Debe mirar esta respuesta, porque deriva el término que desea de inmediato. los postulados de einstein$\leftrightarrow$Espacio de Minkowski para un profano

la razón por la que es$t'=(t-vx)/\sqrt{1-v^2}$y no$t'=t/\sqrt{1-v^2}$(debe establecer c = 1 para seguir cualquier cosa en relatividad) es simple: es una falla de simultaneidad a distancia. Las líneas de coordenadas t=constante no pueden permanecer horizontales en un diagrama de espacio-tiempo; tienen que inclinarse hacia arriba en la misma cantidad que el eje del tiempo se inclina hacia la derecha. Los factores restantes pueden entenderse reproduciendo los argumentos de la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud, pero la falla de la simultaneidad es el efecto no intuitivo más importante, y es el primero discutido por Einstein en su artículo, por esta razón.

La forma de la transformación de Lorentz debe contrastarse con la forma de una rotación de las coordenadas x e y, de modo que la coordenada x tenga una pendiente de m:

$$x' = { x+my \over\sqrt{1+m^2}}$$ $$y' = { y-mx \over\sqrt{1+m^2}}$$

o si usa unidades diferentes para x e y, diga x en pulgadas e y en centímetros,

$$x' = { x + my \over \sqrt{1+{m^2\over c^2}} }$$ $$y' = {y - {mx\over c^2}\over \sqrt{1+{m^2\over c^2}} }$$

Donde c es una constante universal de la naturaleza: la pendiente isóceles de la derecha, que es la pendiente de un triángulo rectángulo isóceles con catetos a lo largo del eje x e y. Su magnitud es de 2,54 cm/pulgada.

También he luchado con este problema durante algún tiempo. Entonces, aquí está la respuesta completamente intuitiva. Está obviamente relacionado con la relatividad de la simultaneidad. Ahora, en el cuadro en movimiento, si dos eventos son simultáneos para la persona en movimiento, no lo hagas simultáneo para ti. Si haces los cálculos, verás que hay una diferencia de tiempo de$(vx/c^2)\gamma$, donde el evento más lejano en la dirección del movimiento ocurre más tarde por esta diferencia de tiempo en el marco de reposo. Entonces agregas este factor al tiempo del reloj del observador en caso de que la persona se esté moviendo a lo largo del lado positivo de tu origen del espacio-tiempo.

Ahora, ¿por qué el signo negativo en la transformación inversa? Bueno, resulta que se trata de una interacción entre elegir un sistema de coordenadas diestro o decir que todos los observadores, incluso aquellos que se mueven en la dirección opuesta, deben atribuir el mismo lado del origen como positivo. en sus sistemas de coordenadas. Esto se hizo implícitamente incluso en los días galileanos cuando resolvías problemas cinemáticos simples.

Ahora, lo que sucede es que en el caso de la velocidad negativa, si asigna coordenadas a los eventos, el que está más lejos en su dirección de movimiento ahora también será negativo. Por lo tanto, la coordenada 'x' será negativa, y la velocidad también es negativa y dos negativos hacen un positivo. Entonces, esto nuevamente conduce a la adición de tiempo adicional para el evento, ya que el tictac del reloj ocurrió antes que el evento que estaba grabando.

Todo esto se puede derivar si se piensa detenidamente en dos eventos simulados en un marco en movimiento. Espero que esto lo aclare.

Deducir las ecuaciones de la Transformación de Lorentz claramente se puede hacer a través del enfoque de matemática a matemática, pero la comprensión aún puede estar al alcance de usted, ya que las matemáticas son una herramienta externa, externa a la mente.

A logical analysis of motion soon produces a geometric representation of motion which then soon produces the full set of equations related to SR. This of course includes the Lorentz Transformation equations and a complete understanding of them.

http://www.youtube.com/watch?v=KKAwpEetJ-Q&list=PL3zkZRUI2IyBFAowlUivFbeBh-Mq7HdoQ

If you have time to watch the above playlist( 9 short videos, total of approx. 1 1/2 hours ), you will never see Einstein's Special Relativity the same again. The 9 videos playlist can also be found at youtube via "KSP Special Relativity" search.

You said "I've been able to work everything out except for $-(v/c^2)x$ in the $t^{\prime}$ equation.". This part of the equation is made crystal clear within the videos. In short, if a spaceship was at absolute rest in space, it would be extending across space only, but it is in motion across the dimension of time at the speed of light. Thus while within the 4 dimensional environment known as Space-Time, its current direction of travel is across time only.

However, if the spaceship now changes its direction of travel within Space-Time, rotation occurs, motion across space occurs, and less motion across the dimension of time occurs. Thus, time slows down, and due to the rotation, the spaceship begins to extend less across space now that it begins to partially extend across the dimension of time as well.

Thus we encounter spatial contraction and time dilation.

But what is to be noted is that the spaceship now extends partially across the dimension of time, thus a clock at the rear end of the spaceship is no longer in sync with a clock located at the front of the spaceship since both are no longer located at the same point in time. These clock offsets are thus included in the overall change of our measurement instruments.

Por lo tanto, las reglas se contraen en longitud, ambos relojes se han ralentizado y los dos relojes no están sincronizados.

Por lo tanto, la$-(v/c^2)x$en el$t^{\prime}$La ecuación se refiere a las compensaciones de reloj que ocurren debido a la rotación.