Un problema para derivar la transformación de Lorentz a partir de la homogeneidad y la isotropía del espacio-tiempo y el principio de relatividad

Question

Un problema para derivar la transformación de Lorentz a partir de la homogeneidad y la isotropía del espacio-tiempo y el principio de relatividad

Quantum_alpaca

Estoy tratando de entender un paso en una derivación de la transformación de Lorentz, que mi profesor dio en clase. Comenzamos asumiendo la homogeneidad y la isotropía del espacio-tiempo de 4 dimensiones y luego consideramos dos marcos de referencia inerciales $S$ y $S'$ , con $S'$ moviéndose a velocidad $v$ a lo largo de $x$ -eje de $S$ . También suponemos que $S$ y $S'$ tienen ejes paralelos y sus orígenes coinciden en el tiempo $t=0$ en $S$ . Así que una transformación general entre las coordenadas de $S$ y $S'$ respectivamente es,

\begin{aligned} t & \to t^{'} = T (t, X, y, z, v) \\ X & \to X^{'} = X (t, X, y, z, v) \\ y & \to y^{'} = Y (t, X, y, z, v) \\ z & \to z^{'} = Z (t, X, y, z, v) . \end{aligned}

$\begin{align} t\qquad &\to\qquad t'=T(t,x,y,z,v)\\ x\qquad &\to\qquad x'=X(t,x,y,z,v)\\ y\qquad &\to\qquad y'=Y(t,x,y,z,v)\\ z\qquad &\to\qquad z'=Z(t,x,y,z,v) \ . \end{align}$ Entonces, aplicando homogeneidad encontramos que la transformación debe ser lineal, entonces

(\begin{matrix} t^{'} \\ X^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix}) = A (v) (\begin{matrix} t \\ X \\ y \\ z \end{matrix}),

$\begin{equation} \begin{pmatrix}t'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=A(v)\begin{pmatrix}t\\x\\y\\z\end{pmatrix} \ , \end{equation}$ dónde

A (v)

$A(v)$ es un

4 \times 4

$4\times4$ matriz. Usando el principio de relatividad encontramos que las direcciones perpendiculares al movimiento no cambian, entonces

A (v) = (\begin{matrix} A_{1} (v) & A_{2} (v) \\ 0 & 1 \end{matrix}),

$\begin{equation} A(v)=\begin{pmatrix}A_1(v)&A_2(v)\\\mathbf{0}&\mathbf{1}\end{pmatrix} \ , \end{equation}$ dónde

A_{1} (v)

$A_1(v)$ y

A_{2} (v)

$A_2(v)$ son

2 \times 2

$2\times 2$ matrices, y

0 = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

$\mathbf{0}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ ,

1 = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

$\mathbf{1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ . Ahora viene el paso que no entiendo, dice que:

De la isotropía del espacio se sigue que $A_2(v)=\mathbf{0}$

¿Puede alguien ayudarme a entender cómo la isotropía del espacio tiene esta implicación?

Cineed Simson

A (v)

$A(v)$ es un impulso en el

x

$x$ dirección.

Respuestas (1)

Un problema para derivar la transformación de Lorentz a partir de la homogeneidad y la isotropía del espacio-tiempo y el principio de relatividad

Felipe · Answer 1

Tengo la sensación de que debería haber una razón física para que los elementos fuera de la diagonal tengan que ser cero, pero no puedo pensar en uno fuera de la mano. Sin embargo, aquí hay otra forma de mostrarlo:

Considere, por ejemplo, una partícula puntual cuyo marco de reposo es $S^\prime$ . Para ti, el observador sentado en $S$ , esta partícula se estaría alejando a lo largo de su $x$ eje. Ahora, ¿qué pasa con el $y$ y $z$ hachas? Bueno, no deberían ser importantes aquí, ya que estas direcciones son ortogonales al movimiento de la partícula. En otras palabras, una vez que haya elegido su $x$ eje esté a lo largo de la dirección del movimiento de la partícula, tiene un número infinito de $y$ y $z$ ejes que se pueden elegir, todos relacionados por rotaciones simples alrededor del $x$ -eje -- que debe dar todos lo mismo $A(v)$ matriz. Esta es una de las suposiciones de la isotropía.

Supongamos que, en lugar de la $(t,x,y,z)$ usaste $(t,x,Y,Z)$ , dónde $Y$ y $Z$ son dos direcciones diferentes mutuamente perpendiculares que también son perpendiculares a $x$ . Como el espacio es isótropo, tu definición de $y$ y $z$ no debería afectar su matriz de transformación, y así

(\begin{matrix} t^{'} \\ X^{'} \end{matrix}) = A_{1} (v) (\begin{matrix} t \\ X \end{matrix}) + A_{2} (v) (\begin{matrix} y \\ z \end{matrix})

$\begin{pmatrix}t^\prime\\x^\prime\end{pmatrix} = A_1(v) \begin{pmatrix}t\\x\end{pmatrix} + A_2(v) \begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}$

(\begin{matrix} t^{'} \\ X^{'} \end{matrix}) = A_{1} (v) (\begin{matrix} t \\ X \end{matrix}) + A_{2} (v) (\begin{matrix} Y \\ Z \end{matrix})

$\begin{pmatrix}t^\prime\\x^\prime\end{pmatrix} = A_1(v)\begin{pmatrix}t\\x\end{pmatrix} + A_2(v) \begin{pmatrix}Y\\Z\end{pmatrix}$

O

A_{2} (v) (\begin{matrix} y \\ z \end{matrix}) = A_{2} (v) (\begin{matrix} Y \\ Z \end{matrix})

$A_2(v) \begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix} = A_2(v) \begin{pmatrix}Y\\Z\end{pmatrix}$

Debe quedar intuitivamente claro que, dado que $Y$ y $Z$ podría ser cualquier conjunto ortogonal posible (también ortogonal a $x$ ), esto debe significar que $A_2(v)=\mathbf{0}$ , pero si quieres ser un poco más riguroso, estos nuevos $Y,Z$ Los ejes se pueden obtener de $y,z$ por rotación de algún ángulo $\theta$ alrededor de $x$ eje, y así

(\begin{matrix} Y \\ Z \end{matrix}) = R (θ) (\begin{matrix} y \\ z \end{matrix}),

$\begin{pmatrix}Y\\Z\end{pmatrix} = R(\theta) \begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix},$ dónde

R (θ)

$R(\theta)$ es la matriz de rotación habitual. La igualdad anterior significa entonces que para cualquier valor arbitrario de

θ

$\theta$ ,

A_{2} (v) (1 - R (θ)) = 0 .

$A_2(v) \left(\mathbf{1} - R(\theta) \right) = \mathbf{0}.$

Desde $\theta$ y $v$ ambos son arbitrarios, debe ser que $A_2(v) = \mathbf{0}$ .

Entonces si el $A(v)$ es un impulso en una dirección general, el espacio ya no es isotrópico?
No entiendo muy bien, las transformaciones de Lorentz distinguen entre la dirección paralela al impulso y las perpendiculares. Si el impulso fuera en una dirección general, entonces uno siempre podría rotar el sistema de coordenadas para estar en esa dirección y llamarlo $x$ , y el mismo argumento que hice se mantendría. Creo que también podría hacerse el argumento exacto para una transformación general, definiendo una dirección $\hat{n}$ y dos vectores de base ortogonal $Y,Z$ que son perpendiculares a $\hat{n}$ ...
$A (v) = [\begin{matrix} γ & - β_{X} γ & - β_{y} γ & - β_{z} γ \\ - β_{X} γ & 1 + \frac{β_{X}^{2} (γ - 1)}{β^{2}} & \frac{β_{X} β_{y} (γ - 1)}{β^{2}} & \frac{β_{X} β_{z} (γ - 1)}{β^{2}} \\ - β_{y} γ & \frac{β_{X} β_{y} (γ - 1)}{β^{2}} & 1 + \frac{β_{y}^{2} (γ - 1)}{β^{2}} & \frac{β_{y} β_{z} (γ - 1)}{β^{2}} \\ - β_{z} γ & \frac{β_{X} β_{z} (γ - 1)}{β^{2}} & \frac{β_{y} β_{z} (γ - 1)}{β^{2}} & 1 + \frac{β_{z}^{2} (γ - 1)}{β^{2}} \end{matrix}]$ $A(v)=\begin{bmatrix} \gamma & -\beta_x\gamma & -\beta_y\gamma & -\beta_z\gamma\\ -\beta_x\gamma & 1+\frac{\beta_{x}^{2}(\gamma-1)}{\beta^{2}} & \frac{\beta_{x}\beta_{y}(\gamma-1)}{\beta^{2}} & \frac{\beta_{x}\beta_{z}(\gamma-1)}{\beta^{2}} & \\ -\beta_y\gamma & \frac{\beta_{x}\beta_{y}(\gamma-1)}{\beta^{2}} & 1+\frac{\beta_{y}^{2}(\gamma-1)}{\beta^{2}} & \frac{\beta_{y}\beta_{z}(\gamma-1)}{\beta^{2}}& \\ -\beta_z\gamma &\frac{\beta_{x}\beta_{z}(\gamma-1)}{\beta^{2}}& \frac{\beta_{y}\beta_{z}(\gamma-1)}{\beta^2}&1+\frac{\beta_{z}^2(\gamma-1)}{\beta^{2}} \\ \end{bmatrix}$
Configuración $\beta_{y}=\beta_{z}=0$ en $A(v)$ arriba generará los OP's $A_{1}(v)$ y $A_{2}(v)$ .
Sí, las transformaciones de Lorentz distinguen entre la dirección paralela al impulso y las perpendiculares. Pero hay $2$ vectores, es decir, $\vec \beta$ y $\vec r$ - y no hay ninguna razón por la que los vectores tengan que ser colineales - aparte de razones pedagógicas.
Estoy de acuerdo, pero me temo que no entiendo bien el punto: en la publicación del OP, la suposición no era la más general, sino una en la que $\beta$ estaba solo a lo largo $x$ . ¿Hay algo incorrecto o engañoso en mi respuesta?
@Philip: solo debe tener cuidado al considerar más de un impulso, ya que dos impulsos crean una rotación. Y no creo que el OP pueda probar que el espacio es isotrópico matemáticamente. Localmente, se puede inferir de la conservación del momento lineal y angular. Pero en la relatividad general, no es tan simple: la homogeneidad y la isotropía del espacio se suponen típicamente y se demuestra la conservación del momento lineal y angular.
@Philip: en realidad, me acabo de dar cuenta de que leí mal la publicación: el OP asume la isotropía del espacio: mi error. En cuyo caso, supongo que el OP simplemente no se dio cuenta cuando el impulso está en el $x$ dirección, el plano de impulso es $t-x$ - y no incluye las otras coordenadas. Usted tenía razón.

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Quantum_alpaca

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