Rotación hiperbólica del espacio-tiempo y transformación de Lorentz

Es. La cantidad$ds^2=-cdt^2 +dx^2+dy^2+dz^2$debe ser constante para todos los observadores, de la misma manera que el radio$r^2=x^2+y^2+z^2$debe ser el mismo para cualquier observador clásico (transformaciones euclidianas).

El signo opuesto de la coordenada de tiempo hace que la invariancia de rotación circular se convierta en invariancia hiperbólica.

Puede escribir fácilmente las transformaciones de Lorentz en términos de$\beta$(velocidad relativa en$c$unidades) y$\gamma$(el coeficiente relativista), pero la composición no es trivial (la velocidad ya no se compone linealmente en la relatividad, como lo hacen en las transformaciones de Galileo).

En lugar de esto se puede definir la rapidez$w$tal que$\cosh w = \gamma$y vuelves a encontrar la regla de composición lineal.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Rapidez

Intente multiplicar las matrices de Lorentz en las dos formas (en términos de$\beta(v)$-$\gamma(v)$y en términos de$w$y encontrarte a ti mismo).

PD: Para simplificar, intente esto en el espacio-tiempo 2D (espacio físico de 1 dimensión y el tiempo, como$t-x$): es completamente general lo mismo, porque componiendo tal transformación con las rotaciones puedes obtener todas las demás.

Como la velocidad de la luz debe ser la misma en todos los marcos de referencia inerciales, se puede escribir:

$$c=\frac{dx}{dt}=\frac{dx’}{dt’}$$ Entonces podemos definir el intervalo de espacio-tiempo: $$ds^2=c^2dt^2-dx^2= c^2dt’^2-dx’^2=ds’^2$$ Que es invariante en todo marco de referencia inercial. En la convención de firma métrica (+ - - -). $$ds^2= \begin{cases} < 0 & space-like \\[2ex] = 0 & light-like \\[2ex] > 0 & time-like \end{cases}$$ En la convención de firma métrica (- + + +). $$ds^2= \begin{cases} < 0 & time-like \\[2ex] = 0 & light-like \\[2ex] > 0 & space-like \end{cases}$$ En la convención de firmas métricas (- + + +), uno puede escribir $dx^2-c^2{dt}^2$como $dx^2+(icdt)^2$. esto parece $dx^2+dy^2$que es básicamente la longitud de algún vector en el sistema de coordenadas cartesianas. Ahora imagina que giras el $(x,y)$sistema de coordenadas por algún ángulo $\theta$. La rotación no cambia la longitud del vector. Entonces, la idea principal es que el intervalo de espacio-tiempo es invariante bajo las transformaciones de Lorentz de la misma manera que la longitud de ese vector es invariante bajo las rotaciones del sistema de coordenadas. El producto punto de cualquier cuatro vectores es invariante de Lorentz, al igual que el producto punto de cualquier vector consigo mismo en el espacio euclidiano es el mismo independientemente de si gira el sistema de coordenadas.

Dado que las otras respuestas hasta ahora abordan principalmente la pregunta de por qué las rotaciones hiperbólicas representan correctamente las transformaciones de Lorentz, me gustaría escribir algunas líneas sobre por qué podrían dar una mejor intuición que la representación habitual en términos de la velocidad.

La analogía con las rotaciones habituales da una muy buena intuición a efectos como la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud. Si consideramos cualquier vector en un espacio euclidiano bidimensional, sus componentes se comportarán de la siguiente manera bajo rotaciones: una componente disminuirá, la otra aumentará. Esto es exactamente lo que sucede con las longitudes y los intervalos de tiempo en SR.

De modo que la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud, efectos que parecen misteriosos para los principiantes, obtienen una analogía intuitivamente accesible a los efectos correspondientes conocidos por las rotaciones que observamos en nuestra vida diaria.