Derivación de la transformación de Lorentz

El procedimiento es fácil si se asumen dos postulados:

1. $\psi$es un escalar bajo cambio de marco de referencia;

2. las transformaciones que consideras son lineales (no homogéneas en general ya que siempre eres libre, en un marco de referencia dado, para mover el origen del espacio y el tiempo).

El segundo postulado puede probarse asumiendo otros principios, pero no entraré en los detalles de una formulación más profunda.

Su ecuación se puede reescribir

$$\frac {\partial^2 \psi}{\partial \tau^2}- \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=0\:,\tag{1}$$

donde introduje la nueva variable$\tau = ct$. Si$\tau =x^0$y$x=x^1$, (1) puede reescribirse en una forma aparentemente más abstracta

$$\eta^{ab}\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^a \partial x^b}=0\:,\tag{2}$$ donde uso la convención estándar de suma sobre índices repetidos ( $a$y $b$) y el $2\times 2$matriz real $\eta$de coeficientes $\eta^{ab}$es diagonal $$\eta = diag(-1,1)\:.$$ Ahora, cambiamos de marco de referencia, pasando a coordenadas $y^0,y^1$conectado a $x^0,x^1$por una transformación lineal no homogénea según el postulado 2.

$$y^a = \Lambda^a\:_b x^b + c^a\:.$$

Evidentemente, este mapa debe ser invertible ya que debe intercambiarse el rol de marco de referencia en vista de su equivalencia física. Es fácil probar que esto es equivalente a requerir que la matriz$\Lambda$es invertible Entonces, también tenemos la transformada inversa:

$$x^a = \Lambda'^a\:_b y^b + c'^a\:,$$

dónde$\Lambda' = \Lambda^{-1}$y$c'^d = -\Lambda'^d\:_e c^e$. La ecuación (2), cambiando las coordenadas y teniendo en cuenta el postulado 1, da

$$\eta^{ab} \frac{\partial y^c}{\partial x^a}\frac{\partial y^d}{\partial x^b}\frac{\partial^2 \psi(x(y))}{\partial y^c \partial y^d}=0\:,$$ donde también usé el postulado 1 para cancelar una segunda derivada que incluye solo las coordenadas que aparecen de otra manera (en esta etapa, uno puede requerir que esta derivada desaparezca para preservar la forma de la ecuación de onda y así probar 2 formas más suposiciones básicas ) . En otras palabras, si $\psi'(y) := \psi(x(y))$, $$\eta^{ab} \Lambda^c\:_a\Lambda^d\:_b \frac{\partial^2 \psi'(y)}{\partial y^c \partial y^d}=0 \tag{3}\:.$$ Comparando (2) y (3), se ve que la forma de la ecuación se conserva siempre que $$\left(\eta^{ab} \Lambda^c\:_a\Lambda^d\:_b - \eta^{cd}\right)\frac{\partial^2 \psi'(y)}{\partial y^c \partial y^d}=0 \:.\tag{4}$$ Es evidente que la forma de la ecuación de onda se conserva si $$\eta^{ab} \Lambda^c\:_a\Lambda^d\:_b = \eta^{cd}\:.\tag{5}$$ Lo contrario es cierto bajo alguna suposición física suave. Si, para cualquier evento dado $y$del espacio-tiempo y para cualquier elección de $\{c_0,d_0\}$dónde $c_0,d_0$tomar valores en $\{0,1\}$, somos capaces de producir una onda tal que $\frac{\partial^2 \psi'(y)}{\partial y^c \partial y^d}=0$si $\{c,d\} \neq \{c_0,d_0\}$y $\frac{\partial^2 \psi'(y)}{\partial y^{c_0} \partial y^{d_0}} = \frac{\partial^2 \psi'(y)}{\partial y^{d_0} \partial y^{c_0}} \neq 0$, entonces (4) implica (5).

Observe que las transformaciones${\mathbb R^2} \ni x \mapsto y \in {\mathbb R}^2$

$$y^a = \Lambda^a\:_b x^b + c^a$$ donde las matrices $\Lambda$satisfacer (5) define el grupo 2D de Poincaré y, por lo tanto, se puede escribir en la forma estándar que casi todo el mundo conoce.

Si$c^0=c^1=0$y$t'= y^0/c$,$x'= y^1$,

$$t' = \gamma\left(t- \frac{vx}{c^2}\right)\:, \qquad x' = \gamma(x-vt)$$

dónde$\gamma = (1- \frac{v^2}{c^2})^{-1/2}$y$v$es la velocidad de un punto fijo en el marco de referencia en reposo con$x'$medido en el marco de referencia no cebado.

Escribir la ecuación de onda en coordenadas$t'= y^0/c$,$x'= y^1$, la forma invariante de la ecuación es

$$\frac{\partial^2 \psi'}{\partial t'^2}- c^2\frac{\partial^2 \psi'}{\partial x'^2}=0\tag{1'}$$

Interpretación$t$y$x'$como la coordenada temporal y espacial del otro marco de referencia, la teoría estándar de la ecuación de D'Alembert demuestra que la velocidad de propagación de las ondas es$c$en ambos marcos de referencia.