Funciones lineales sobre espacios vectoriales frente a las de geometría analítica

La diferencia radica en la definición de lineal . En el primer caso, queremos decir que la función$f$es lineal como una función en un espacio vectorial , mientras que en el segundo caso te refieres a lineal sobre los números reales como un campo . Estos no son la misma cosa. Estas definiciones no están relacionadas, en el sentido de que la linealidad en la interpretación del espacio vectorial no implica linealidad como función analítica. (lo contrario se cumple, por supuesto). Es decir, como señala Michael Albanese,$f$es$\mathbb Q$-lineal sobre$\mathbb R$, pero$f$no es$\mathbb R$-lineal.

No hay contradicción en tus observaciones, porque el escalar$\alpha$debe venir de$\mathbb Q$. Entonces no se puede deducir, por ejemplo, que$f(1)=1/xf(x)=-1/x$, ya que aquí tomamos$\alpha$ser irracional. Más generalmente,$f$parecerá ser discontinua sobre los reales.

Ayuda a ver que su$f$aún no está definido en todas partes, porque solo ha dado su en dos de incontables muchos vectores independientes. Para cada punto independiente$x^\prime$donde das un valor de$f$, tu defines su valor en los puntos$x^\prime\mathbb Q$.

Puede tomar su observación y hacer muchas más funciones aparentemente patológicas. Por ejemplo, puede tomar innumerables puntos relativamente irracionales$x_1,\ldots$y luego decir eso$f(1)=1$y$f(x_i)=-x_i$para todos$i$. Esto producirá una función que tiene valor

Lo que a menudo se llama un mapa lineal en la escuela secundaria no es en realidad un mapa lineal en álgebra lineal. La función$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$,$u \mapsto \mu u + \nu$es un mapa lineal si y solo si$\nu = 0$(esto es claramente necesario ya que necesitamos$g(0) = 0$). Además, cada$\mathbb{R}$-función lineal$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$es de la forma$g(u) = \mu u$para algunos$\mu \in \mathbb{R}$.

Como$\{1, x\}$es un conjunto linealmente independiente en el$\mathbb{Q}$-espacio vectorial$\mathbb{R}$, hay un$\mathbb{Q}$-mapa lineal$f : \mathbb{R} \to \mathbb{Q}$tal que$f(1) = 1$y$f(x) = -1$. Tenga en cuenta que$f$tiene codominio$\mathbb{Q}$y es$\mathbb{Q}$-lineal, a diferencia de tener codominio$\mathbb{R}$y ser$\mathbb{R}$-lineal. Esta es la razón por$f$no es necesariamente de la forma$u \mapsto \mu u$. De hecho, el único$\mathbb{Q}$-mapa lineal$\mathbb{R} \to \mathbb{Q}$de esta forma es el mapa cero. Para ver esto, primero tenga en cuenta que$1 \mapsto \mu \in \mathbb{Q}$, y$\sqrt{2} \mapsto \mu\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$. Desde$\mu$es racional y$\sqrt{2}$es irracional, debemos tener$\mu = 0$.