¿Podemos definir un producto interno sobre la base de la forma que queramos?

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Ya mostré la primera parte y estoy tratando de averiguar si hay alguna restricción sobre cómo podemos elegir escalares para el producto interno de los elementos básicos. Estaba tratando de encontrar contraejemplos, pero después de haber pensado más en esto, no parece que haya ninguno, así que creo que la respuesta es que podemos elegir cualquier escalar arbitrario para < mi j , mi k > y tendríamos un producto interno. Es eso cierto

No, en absoluto. Por ejemplo, si define ⟨ mi j , mi j ⟩ = − 1 no obtendrás un producto interno. También necesita requerir simetría/simetría conjugada.
Ok, sí, eso tiene sentido. Aclaración adicional, pero si cada <ej,ek> es en sí mismo un producto interno, entonces podría ser cualquier producto interno arbitrario, pero una vez que tenemos un producto interno sobre los elementos base, y en realidad es un producto interno, entonces podemos usar eso para definir un producto interior en todo el espacio ¿no?
Diciendo que ⟨ mi j , mi k ⟩ para un par ordenado dado es un producto interno no tiene sentido. Ser un producto interior es una propiedad global.

Respuestas (1)

Por definición de un espacio de producto interno , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ es un producto interior si y solo si la matriz ( γ j k ) es simétrico positivo definido si se trata de espacios reales. La matriz tiene que ser definida positiva hermítica si se trata de espacios complejos.

Un enlace sobre una forma de verificar si una matriz es definida positiva.

@Arthur Efectivamente. Respuesta actualizada.
¡Oh gracias! Me olvidé del requisito simétrico positivo.
@ mathcounterexamples.net, un punto rápido, sin embargo, ¿necesitamos asumir una base ortonormal para estos requisitos?
@William ¡Para nada! Si la base fuera ortonormal, la matriz sería muy simple. ¿Ves lo que es la matriz de un producto interno sobre una base ortonormal? Solo necesita aplicar la definición de una base ortonormal para ver eso.
ok, gracias, porque recordé que la transpuesta conjugada de una matriz representa el operador autoadjunto, pero esto solo funciona para una base ortonormal, así que no estaba seguro de si lo necesitábamos en este caso.
si la base fuera ortogonal, el producto punto estándar es básicamente la única forma de definir un producto interno que tiene sentido, ¿no? Todos los términos cruzados se cancelarían. O la matriz sería una matriz diagonal.
En una base ortonormal, la matriz del producto interno es la matriz identidad como ⟨ mi i , mi j ⟩ es igual 0 para i ≠ j e iguala 1 si i = j .
¿Podemos definir un producto interno sobre la base de la forma que queramos?
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