Determinar la intersección del plano con un rayo [duplicado]

La intersección$Q$yace en el avión, lo que significa

$$\vec{N}\cdot Q = \vec{N}\cdot X$$ y es parte del rayo, lo que significa $$Q=P + \lambda \vec{D} \;\;\text{for some}\;\; \lambda \geq 0$$ Ahora inserta uno en el otro y obtienes $$\vec{N}\cdot P+\lambda\,\left(\vec{N}\cdot \vec{D}\right) = \vec{N}\cdot X$$ o $$\lambda =\frac {\vec{N}\cdot (X-P)}{\vec{N}\cdot \vec{D}}$$ Si$\lambda$es positivo, entonces la intersección está en el rayo. Si es negativo, entonces el rayo se aleja del plano. Si esto es$0$, entonces tu punto de partida es parte del plano.

Si$\vec{N}\cdot \vec{D} = 0,$entonces el rayo se encuentra en el plano (si$\vec{N}\cdot (X-P)=0$) o es paralelo al plano sin ninguna intersección (si$\vec{N}\cdot (X-P)\neq 0$).

Como puedes ver, ni siquiera tienes que calcular$\lambda.$Es suficiente conocer los signos de$\vec{N}\cdot (X-P)$y$\vec{N}\cdot \vec{D}.$

Editar

Dejar$a = \vec{N}\cdot (X-P)$y$b = \vec{N}\cdot \vec{D}$. Entonces

$$\begin{array}{c|c|c|c} & a<0 & a=0 & a>0 \\ \hline b<0 & \text{ray points towards} & P \text{ on plane} & \text{ray points away from} \\ & \text{plane, intersection} & & \text{plane, no intersection} \\ \hline b=0 & \text{ray and plane parallel,} & \text{ray on plane} & \text{ray and plane parallel,} \\ & \text{no intersection} & & \text{no intersection} \\ \hline b>0 & \text{ray points away from} & P \text{ on plane} & \text{ray points towards} \\ & \text{plane, no intersection} & & \text{plane, intersection} \end{array}$$