¿Cuál es el significado físico de la acción en la mecánica lagrangiana?

El hamiltoniano H y el lagrangiano L , que son construcciones bastante abstractas en la mecánica clásica, obtienen una interpretación muy simple en la mecánica cuántica relativista. Ambos son proporcionales al número de cambios de fase por unidad de tiempo. El hamiltoniano corre sobre el eje del tiempo (el eje vertical en el dibujo) mientras que el lagrangiano corre sobre la trayectoria de la partícula en movimiento, el eje t'.

La ilustración muestra la onda relativista de De Broglie en un diagrama de Minkowski. El triángulo representa la relación entre el lagrangiano y el hamiltoniano, que se cumple tanto en la física relativista como en la no relativista.

El hamiltoniano cuenta los cambios de fase por unidad de tiempo en el eje vertical, mientras que el término pv cuenta los cambios de fase por unidad en el eje horizontal que representa la distancia: v es la distancia recorrida por unidad de tiempo, mientras que p es proporcional a la fase. cambia por unidad de distancia, de ahí el término pv.

La Acción ahora puede verse como proporcional al número total de cambios de fase sobre la trayectoria de la partícula. El principio de acción mínima es, por lo tanto, equivalente al principio de cambio de fase mínimo . En la teoría de la relatividad especial, este último es equivalente al principio del mínimo tiempo propio ya que el 'tiempo propio' experimentado por la partícula es proporcional al número de cambios de fase a lo largo de la trayectoria.

Hans

Algún tiempo después de que Newton describiera las leyes de la naturaleza en términos de una relación instantánea, otros notaron que la historia , más que el estado instantáneo, de un sistema podía, al menos en un caso, describirse diciendo que obedecía a cierta relación: una función particular que describe la historia siempre debe ser la que (a) comienza y termina con los valores observados y (b) tiene el valor más bajo de esa función.

Esta es exactamente la perspectiva opuesta a ver la naturaleza en un instante.

El caso particular fue el recorrido (historia) de un haz de luz a través de dos medios distintos. La función que se minimizó fue T: el tiempo que tarda el rayo en llegar de A a B. Dijeron: "Hay un número infinito de caminos posibles; la ley de la naturaleza que se aplica en este caso es que la función T es la más baja". de todos los caminos posibles".

Esto llevó instintivamente a la pregunta de si este podría ser un caso específico de una formulación más general de la ley de la naturaleza, equivalente a la de Newton: en cualquier sistema, no solo en los haces de luz, hay alguna función (como el tiempo de viaje) que se puede descubrir que se minimiza. La naturaleza siempre elegirá la trayectoria en la que se minimice esta función.

Por definición, esta función, si existe, es la acción. (Puede haber más de uno). Para la mecánica clásica, la función es la integral de la diferencia entre las energías potencial y cinética, pero es perverso y confuso tomar esta última como la definición de la acción. El principio de mínima acción es mucho más general que eso. Por ejemplo, se aplica a la física cuántica.

Intuitivamente, la acción es lo que se minimiza, como el tiempo de propagación de un haz de luz, o la energía potencial promedio menos la energía cinética de un cuerpo que patina sobre una superficie montañosa de A a B, en cada historia, en cada trayectoria.

Si conoce las bases de datos relacionales, Newton enmarcó la ley de la naturaleza como una SELECCIÓN de atributos que describen el estado del sistema ("¿dónde estaba la partícula en el tiempo t?" y "¿cuál era su momento?"), y los científicos posteriores eligieron en su lugar una función de GRUPO de todos los estados intermedios entre el comienzo y el final del experimento mental.

I) Por lo menos tres cantidades diferentes en física se llaman acción y se denotan con la letra$S$:

1. La acción fuera de la cáscara$S[q;t_i,t_f]$,

2. La acción sobre la concha (Dirichlet)$S(q_f,t_f;q_i,t_i)$, y

3. La función principal de Hamilton$S(q,\alpha, t).$

Para conocer sus definiciones y cómo están interrelacionadas, consulte, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí . (Aquí las palabras on-shell y off-shell se refieren a si las ecuaciones de movimiento (EOM) se cumplen o no).

II) OP aparentemente está pensando en la primera opción: la acción fuera del caparazón

que pueden evaluarse a lo largo de caminos (posiblemente virtuales)$q:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}$, que no necesariamente satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange (=EOM). el lagrangiano$L$es típicamente la diferencia entre la energía cinética y potencial, pero advertimos que este no tiene por qué ser el caso, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE y sus enlaces.

III) Uno puede preguntarse: ¿Por qué consideramos caminos virtuales/no físicos que no necesariamente satisfacen EOM?

Respuesta: Por al menos dos razones:

1. No se pueden derivar ecuaciones de Euler-Lagrange sin permitir caminos virtuales, cf. el principio de acción estacionaria .

2. En la mecánica cuántica, los caminos virtuales contribuyen a la integral del camino como fluctuaciones cuánticas y tienen consecuencias físicas. (Son, por ejemplo, responsables del determinante de Van Vleck en la aproximación semiclásica a través de la integración gaussiana).

IV) Véase también, por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.

La acción no tiene una interpretación física inmediata, pero puede entenderse como la función generadora de una transformación canónica; ver, por ejemplo, http://en.wikipedia.org/wiki/Hamilton-Jacobi_equation

Estoy más o menos de acuerdo con Arnold, limitando nuestra atención a la dinámica clásica. En mecánica cuántica (QM) y teoría de campos (QFT), sin embargo, la acción es el logaritmo natural de la amplitud de probabilidad para propagar un sistema a partir de una configuración inicial de partículas en QM o campos en QFT. Feynman aprovechó un comentario de Dirac en su libro QM que, parafraseando, el exponencial de$-i \hbar S$está relacionado con la amplitud de la probabilidad de propagación.

Esto es algo menos satisfactorio que, digamos, la interpretación de la energía potencial o cinética. Pero al menos es algo.

La acción es un funcional de funciones aún no definidas.$q(t)$y$\dot q(t)$tal que su mínimo (o una condición estacionaria$\delta S =0$) determina una familia de posibles movimientos reales de un sistema físico como soluciones generales de ecuaciones diferenciales. La elección final de un movimiento real fuera de esta familia se determina dando algunos puntos finales (o más a menudo, condiciones iniciales). Fija las constantes arbitrarias y produce una curva única.