El significado de la acción.

La acción$S$no es un objeto conocido por los profanos; sin embargo, cuando uno trabaja seriamente como físico, se vuelve tan importante y natural como la energía$H$. Por lo tanto, la acción probablemente no sea intuitiva para los usuarios sin experiencia, y no hay razón para ocultarla, pero es importante para los físicos profesionales, especialmente en física teórica y de partículas.

La afirmación del OP de que el hamiltoniano corresponde a la energía es una tautología vacía porque el hamiltoniano es un sinónimo técnico de energía. De la misma manera, se podría decir que la acción corresponde intuitivamente a Wirkung (un nombre alemán) porque también es lo mismo. Debido a que ahora tiene dos nombres, se vuelve más natural :-) y el OP también podría culpar a la energía por tener unidades de acción "antinaturales" por unidad de tiempo. En otras palabras, la pregunta asume que la energía (y su unidad) es más fundamental e intuitiva que la acción (y su unidad), por lo que no debería sorprender que usando sus suposiciones, el OP también pueda "deducir" la conclusión de que la energía es más fundamental e intuitiva que la acción. ;-)

Pero, ¿la suposición = conclusión es correcta? Bueno, la energía es intuitiva porque se conserva y la acción es intuitiva porque se minimiza, por lo que no hay diferencia cualitativa en su importancia.

Por supuesto, la única diferencia es que los no físicos no aprenden a usar la acción en absoluto. La energía puede imaginarse como "papas" que todos pueden hacer; la acción es una partitura abstracta de la historia que solo es útil una vez que comenzamos a derivar ecuaciones diferenciales a partir de ella, algo que casi ningún profano puede imaginar. Si la experiencia del profano con un concepto mide si algo es "intuitivo", entonces la acción simplemente es menos intuitiva y no hay razón para pretender lo contrario. Sin embargo, los físicos aprenden que en cierto sentido es más fundamental que la energía.

Bueno, el hamiltoniano es la fórmula clave que define la evolución del tiempo en la imagen hamiltoniana, mientras que la acción es la fórmula clave para definir la evolución en la imagen covariante más agradable del "espacio-tiempo", razón por la cual los físicos HEP la usan todo el tiempo.

Cuál es la acción en general

De lo contrario, la principal razón de ser de la acción es el principio de mínima acción , que es lo que todo el mundo debería aprender si quiere saber algo sobre la acción en sí.

Históricamente, este principio -y el concepto de acción- generalizó varias reglas para los rayos de luz que minimizan el tiempo para llegar a alguna parte, y así sucesivamente. No tiene sentido aprender sobre una cantidad sin aprender sobre la "aplicación" definitoria que la hace importante en la física. La energía se define de modo que se conserve siempre que las leyes de la naturaleza sean simétricas traslacionales en el tiempo; y la acción se define como cualquier cosa minimizada por la historia que el sistema finalmente toma para obedecer las mismas leyes.

La energía es una propiedad de un sistema en un momento fijo del tiempo, y debido a que generalmente se conserva, tiene los mismos valores en todos los momentos. Por otro lado, la acción no está asociada con el estado de un objeto físico; está asociado con una historia.

Hay un punto que necesito volver a enfatizar. Para sistemas particulares, pueden existir fórmulas "definitorias" particulares para el hamiltoniano o la acción, como$E=mv^2/2$o$S = \int dt(mv^2/2-kx^2/2)$. Sin embargo, no son las definiciones más universales y válidas de los conceptos. Estas fórmulas no explican por qué se eligieron de esta manera en particular, para qué sirven y cómo generalizarlas en otros sistemas. Y uno no debería sorprenderse de que se puedan derivar las ecuaciones de movimiento correctas a partir de estas fórmulas para$H$o$S$.

En cambio, la energía se define universalmente de tal manera que se conserva como resultado de la simetría de traslación del tiempo; y la acción se define de tal manera que la condición$\delta S = 0$(estacionariedad de la acción) es equivalente a las ecuaciones de movimiento. Estas son las condiciones generales que definen los conceptos en general y que los hacen importantes; las fórmulas particulares para la energía o la acción son solo aplicaciones particulares de las reglas generales.

En el texto anterior, estaba hablando de física clásica, es decir, no cuántica. En física cuántica, la acción no escoge la única historia permitida; en cambio, uno calcula las amplitudes de probabilidad como sumas sobre todas las historias ponderadas por$\exp(iS/\hbar)$que puede verse fácilmente que se reduce a las predicciones clásicas en el límite clásico. Una acción estacionaria de una historia significa que las historias cercanas tienen una fase similar y se interfieren constructivamente entre sí, haciendo que la historia clásicamente admitida sea más importante que otras.

Aquí viene un intento de una analogía intuitiva:

Debes haber escuchado el clásico "la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta", en geometría euclidiana.

La integral de acción es análoga a la distancia en las coordenadas generalizadas del sistema en estudio. Su minimización da el camino más corto en el espacio de configuración que va del tiempo t1 al tiempo t2 y se denomina principio de acción mínima. Su aplicación conduce directamente a las ecuaciones de Lagrange, de las que se derivan las ecuaciones de movimiento del sistema.

El capítulo 2 de la "mecánica clásica" de H. Goldstein (disponible en la web) es una buena introducción a esto ya los principios variacionales.

Como profano, no puedo ofrecer demasiado, pero puedo ofrecer lo que pienso acerca de la acción.

La distinción clave en la mecánica clásica entre el hamiltoniano y el lagrangiano es que el hamiltoniano (H) es la suma de la energía cinética (T) y la energía potencial (V), mientras que el lagrangiano (L) es la diferencia:

En el caso de un movimiento armónico simple (una masa, un sistema de resorte, por ejemplo) podemos usar las siguientes ecuaciones para los diferentes tipos de energía:

Me referiría a la mayoría de los textos elementales, pero la solución para la posición en función del tiempo para el sistema armónico simple descrito es:

y para la velocidad:

Configuración$A = 2$, y$m=k=1$podemos trazar el siguiente gráfico en el tiempo:

En este gráfico, el área resaltada, el área bajo la curva trazada por el lagrangiano, es la acción. El área bajo la curva depende del intervalo de interés (sin embargo, para múltiplos enteros del período de la onda y para un tiempo infinito, la acción sería igual a cero [ver nota]). En cualquier caso, esto debería dar una noción intuitiva para la acción, y para el concepto de funcional... el área bajo la curva para algún intervalo es un número determinado por la integral de una función:

Cuando se trata del principio de acción mínima (como lo discutieron otros), establecemos:

Lo cual se hace considerando los efectos de un cambio infinitesimal en la posición$\epsilon$de modo que$x$se convierte$x+\epsilon$(Lo referiré al capítulo 2 de Teoría cuántica de campos desmitificada para una buena discusión sobre esto).

En cualquier caso, el objetivo es que la ecuación que uno desea (la ecuación de movimiento de Newton, o lo que me gusta pensar que es una ecuación de fuerza) sea una que satisfaga el$\delta S = 0$restricción, que en este ejemplo, tiene el efecto de mantener constante el valor de la acción (el área bajo la curva).

Espero que ayude, editaré para obtener más contenido si es necesario.

[Nota: agregaría que si uno es inteligente, puede hacer que el medio ciclo sea infinitamente largo, lo que haría que la acción fuera distinta de cero en el caso de un SHO]

La acción es una función del límite superior de integración (si$L(t)$se especifica), por lo que crece desde cero cuando$t_2$va más y más lejos de$t_1$. En este sentido, la acción es una "medida de cambio".

Pero normalmente no calculamos los valores de acción con soluciones insertadas en$L$. La acción es un funcional de trayectorias posibles antes de variar$q(t)$y$\dot{q} (t)$. Antes de variar,$q(t)$y$\dot{q} (t)$son soluciones arbitrarias, no específicas de ecuaciones.

Una comprensión intuitiva de la acción podría ser la siguiente: en trayectorias reales, su tasa de crecimiento podría ser mínima, pero lamentablemente no es el caso. En cambio, tenemos el requisito de acción mínima:$\delta S = 0$entre dos puntos fijos.