¿Por qué una integral de acción debe ser estacionaria? ¿Sobre qué base estableció Hamilton este principio?

Las notas de la semana 1 del curso de mecánica lagrangiana de John Baez dan una idea de las motivaciones de los principios de acción.

La idea es que la mínima acción podría considerarse una extensión del principio del trabajo virtual. Cuando un objeto está en equilibrio, se necesita cero trabajo para hacer un pequeño desplazamiento arbitrario sobre él, es decir, el producto escalar de cualquier vector de desplazamiento pequeño y la fuerza es cero (en este caso porque la fuerza misma es cero).

Cuando un objeto está acelerando, si agregamos una "fuerza de inercia" igual a$\,-ma\,$, entonces un desplazamiento pequeño, arbitrario y dependiente del tiempo de la trayectoria verdadera del objeto volvería a tener un producto escalar cero con$\,F-ma,\,$la fuerza verdadera y la fuerza de inercia sumadas. Esto da

$$(F-ma)\cdot \delta q(t) = 0$$

A partir de ahí, algunos cálculos que se encuentran en las notas conducen a la integral de acción estacionaria.

Baez habla más de D'Alembert que de Hamilton, pero de cualquier manera es una mirada interesante a los orígenes de la idea.

También existe el enfoque de Feynman, es decir, la mínima acción es verdadera clásicamente solo porque es verdadera en la mecánica cuántica, y la física clásica se considera mejor como una aproximación al enfoque cuántico subyacente. Consulte la Tesis de Feynman: un nuevo enfoque de la teoría cuántica o una llamada a la acción , de Edwin F. Taylor .

Básicamente, todo se resume en pocas palabras en Richard P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics (Addison–Wesley, Reading, MA, 1964), vol. II, cap. 19. (Creo, por favor corrígeme si me equivoco aquí). La idea fundamental es que la integral de acción define la amplitud mecánica cuántica para la posición de la partícula, y la amplitud es estable a los efectos de interferencia (--> tiene una probabilidad de ocurrencia distinta de cero) solo en los extremos o puntos de silla de la integral de acción. La partícula realmente explora probabilísticamente todos los caminos alternativos.

Es probable que desee leer Lectures on Physics de Feynman de todos modos, por lo que es mejor que comience ahora. :-)

Generalmente cuento la historia de que el principio de acción es otra forma de llegar a las mismas ecuaciones diferenciales, por lo que al nivel de la mecánica, las dos son equivalentes. Sin embargo, cuando se trata de la teoría cuántica de campos, la descripción en términos de integrales de trayectoria sobre la acción exponenciada es esencial al considerar los efectos instantónicos. Así que eventualmente uno encuentra que la formulación en términos de acciones es más fundamental y físicamente más sólida.

Pero aun así, las personas no tienen un "sentido" de la acción de la misma manera que tienen un sentido de la energía.

Como puede ver en la imagen a continuación, desea que la variación de la integral de acción sea mínima, por lo tanto$\displaystyle \frac{\delta S}{\delta q}$debe ser$0$. De lo contrario, no está tomando el verdadero camino entre$q_{t_{1}}$y$q_{t_{2}}$pero un camino un poco más largo. Sin embargo, aun siguiendo$\delta S=0$, como sabes, podrías terminar con otro extremo.

Siguiendo el enlace de jc, puede encontrar On a General Method on Dynamics , que probablemente responda su pregunta sobre el razonamiento de Hamilton. No lo he leído pero casi seguro que merece la pena.

Recordemos que las ecuaciones de movimiento con condiciones iniciales$q(0), (dq/dt)(0)$se propusieron primero y el principio de acción mínima se formuló después, como una secuencia. Aunque es hermoso y elegante desde el punto de vista matemático, el principio de acción mínima utiliza alguna condición futura de "límite".$q(t_2)$, que se desconoce físicamente. No existe un principio de acción mínima que opere únicamente con las condiciones iniciales.

Además, se da a entender que las ecuaciones tienen soluciones físicas. Esto es así en la Mecánica Clásica pero es erróneo en la Electrodinámica Clásica. Entonces, incluso derivadas de un "principio" formalmente correcto, las ecuaciones pueden ser incorrectas a nivel físico y matemático. A este respecto, formular las ecuaciones físicas correctas es una tarea más fundamental para los físicos que confiar en algún "principio" de obtención de ecuaciones "automáticamente". Somos los físicos los responsables de formular correctamente las ecuaciones.

En CED, QED y QFT, uno tiene que "reparar sobre la marcha" las soluciones incorrectas solo porque la física se adivinó e inicialmente se implementó incorrectamente.

PS Me gustaría mostrar cómo en realidad el sistema "elige" su trayectoria: si en$t = 0$la partícula tiene un momento$p(t)$, entonces en la próxima vez$t+dt$tiene el impulso$p(t) + F(t)\cdot dt$. Este incremento es bastante local en el tiempo, está determinado por el valor actual de la fuerza$F(t)$por lo que ninguna condición futura de "límite" puede determinarlo. La trayectoria no se "elige" entre las virtuales; es "dibujado" por los valores instantáneos de fuerza, coordenadas y velocidad.

En lugar de especificar la posición inicial y el momento tal como lo hemos hecho en el formalismo de Newton, reformulemos nuestra pregunta de la siguiente manera:

Si optamos por especificar las posiciones inicial y final:$\textbf{What path does the particle take?}$

Afirmemos que podemos recuperar el formalismo de Newton mediante el siguiente formalismo, el llamado formalismo lagrangiano o principio hamiltoniano.

A cada camino ilustrado en la figura anterior, le asignamos un número que llamamos la acción

$$S[\vec{r}(t)] = \int_{t_1}^{t_2}dt \left(\dfrac{1}{2}m\dot{\vec{r}}^2-V(\vec{r})\right)$$

donde este integrando es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial.

$\textbf{Hamilton's principle claims}$: El verdadero camino tomado por la partícula es un extremo de S.

$\textbf{Proof:}$

1. Cambia ligeramente la ruta:

$$\vec{r}(t) \rightarrow \vec{r}(t) +\delta \vec{r}(t)$$

2.Mantenga fijos los puntos finales de la ruta:

$$\delta \vec{r}(t_1) = \delta \vec{r}(t_2) = 0$$

3. Toma la variación de la acción.$S$:

finalmente, obtendrás

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left[-m\ddot{\vec{r}} - \nabla V\right] \cdot \delta \vec{r}$$

La condición de que el camino con el que comenzamos sea un extremo de la acción es

$$\delta S = 0$$

que debe mantenerse para todos los cambios$\delta \vec{r}(t)$que hacemos al camino. La única forma en que esto puede suceder es si la expresión en$[\cdots]$es cero Esto significa

$$m\ddot{\vec{r}} = -\nabla V$$

Ahora reconocemos esto como$\textbf{Newton’s equations}$. Exigir que la acción se extremice es equivalente a exigir que el camino obedezca las ecuaciones de Newton.

Para obtener más detalles, puede leer esta conferencia en pdf.

Espero eso ayude.

Es posible en la física clásica derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange del principio de D'Alembert, sin ninguna referencia a la noción de acción. Vienen de las leyes de Newton con la suposición adicional de que las fuerzas son conservativas. En este caso hay un Lagrangiano, y la ecuación de movimiento (EOM) es la ecuación de Euler-Lagrange.

Supongamos que una función q(t) es una solución para el MOE en un cierto intervalo. q se puede expandir como una serie de Taylor, es decir, una serie de potencias:$q(t) = \sum_j a_jt^j$.

La acción es:$S(L) = \int_{t1}^{t2} Ldt$donde L es el Lagrangiano que corresponde a la EOM. porque la integral esta en$t$, y estamos tomando la derivada con respecto a los coeficientes$a_j$, puede ir dentro de la integral. Para cada$a_j$.

$$\frac{\partial S}{\partial a_j} = \int_{t1}^{t2} \frac{\partial L}{\partial a_j}dt$$

L es una función de$q$y$\dot q$, por lo que aplicando la regla de la cadena:

$$\frac{\partial L}{\partial a_j} = \frac{\partial L}{\partial q}\frac{\partial q}{\partial a_j} + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\frac{\partial \dot q}{\partial a_j}$$

Integrando este diferencial entre 2 instantes de tiempo:

$$\int_{t1}^{t2}\frac{\partial L}{\partial a_j}dt = \int_{t1}^{t2}\frac{\partial L}{\partial q}\frac{\partial q}{\partial a_j}dt + \int_{t1}^{t2}\frac{\partial L}{\partial \dot q}\frac{\partial \dot q}{\partial a_j}dt$$

El último término se puede separar usando integral por partes, usando eso diferenciando con respecto al tiempo:$d\left (\frac{\partial q}{\partial a_j}\right ) = \frac{\partial \dot q}{\partial a_j} dt$:

$$\int_{t1}^{t2}\frac{\partial L}{\partial \dot q}\frac{\partial \dot q}{\partial a_j}dt = \frac{\partial L}{\partial \dot q}\frac{\partial q}{\partial a_j}\bigg|_{t1}^{t2} - \int_{t1}^{t2}\frac {\partial \frac {\partial L}{\partial \dot q}}{\partial t} \frac{\partial q}{\partial a_j}dt$$

Entonces:

$$\int_{t1}^{t2}\frac{\partial L}{\partial a_j}dt = \int_{t1}^{t2}\frac{\partial L}{\partial q}\frac{\partial q}{\partial a_j}dt - \int_{t1}^{t2}\frac {\partial \frac {\partial L}{\partial \dot q}}{\partial t} \frac{\partial q}{\partial a_j}dt + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\frac{\partial q}{\partial a_j}\bigg|_{t1}^{t2}$$

Uniendo las integrales, obtenemos entre paréntesis la ecuación de Euler-Lagrange, ¡esa es la propia MOE! Si q es solución por hipótesis, esta integral debe ser cero.

$$\int_{t1}^{t2}\frac{\partial L}{\partial a_j}dt = \int_{t1}^{t2}\left (\frac{\partial L}{\partial q} - \frac {\partial \frac {\partial L}{\partial \dot q}}{\partial t} \right) \frac{\partial q}{\partial a_j}dt + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\frac{\partial q}{\partial a_j}\bigg|_{t1}^{t2}$$

Para el último término, la integral de segundo orden necesita 2 condiciones de contorno. Si$q(t_1)$y$q(t_2)$son conocidos, son fijos y$\frac{\partial q}{\partial a_j}\bigg|_{t1} = \frac{\partial q}{\partial a_j}\bigg|_{t2} = 0 \implies$este término se desvanece.

Ahora, llegamos a la conclusión de que la derivada de la acción con respecto a todos los coeficientes debe ser cero en el intervalo, lo que es lo mismo que decir que la acción debe ser estacionaria.