¿Cuál es la intuición detrás del factor de Lorentz de la Relatividad Especial?

Para mí personalmente, la forma más intuitiva de entender SRT es tener siempre en cuenta que, en SRT, el intervalo

$$ds^2=-c^2dt^2+dx^2=-c^2d\tau^2$$ tiene que ser invariante. A partir de esta sencilla fórmula, todo parece fluir de forma natural. En particular, es fácil ver cómo surge la forma del factor de Lorentz a partir de aquí, usando $\frac{dx}{dt}=v\to dx=vdt$. El uso de esta sustitución nos da

$$c^2d\tau^2=dt^2(c^2-v^2)\to d\tau^2=dt^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\to d\tau=(\pm)dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=(\pm)\frac{dt}{\gamma}$$ esta es la fórmula de la dilatación del tiempo. La contracción de longitud puede derivarse de manera similar. Si te gusta esto, puede que te interese esta vieja pregunta mía (aunque debes tener cuidado de no confundirte con las diferencias de notación).

Así es como se deriva la ecuación para la dilatación del tiempo.

La métrica utilizada en relatividad especial es la métrica de Minkowski:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

y el principio básico de la relatividad especial es el elemento lineal$ds$es un invariante, es decir, todos los observadores en todos los marcos inerciales lo medirán para tener el mismo valor.

Supongamos que estamos usando las coordenadas$(t, x, y, z)$y observamos un objeto moviéndose a velocidad$v$en el$x$dirección (entonces$dy = dz = 0)$, entonces:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 \tag{1}$$

Pero esperamos la posición del objeto en nuestras coordenadas,$x$, a ser dado por:

$$x = vt + x_0$$

y por lo tanto:

$$dx = vdt$$

y si sustituimos esto en la ecuación (1) obtenemos:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + v^2dt^2 \tag{2}$$

Ahora cambie al marco del objeto en movimiento.$(t', x', y', z')$. En estas coordenadas el objeto está estacionario por lo que$dx' = dy' = dz' = 0$entonces:

$$ds'^2 = -c^2dt'^2 \tag{3}$$

Comenzamos diciendo que todos los observadores estarán de acuerdo en el valor del elemento de línea y eso significa$ds = ds'$, por lo que igualando las ecuaciones (2) y (3) obtenemos:

$$c^2dt'^2 = c^2dt^2 - v^2dt^2$$

Y dividiendo ambos lados por$c^2$y sacando la raiz cuadrada:

$$\begin{align} dt' &= dt \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \\ &= \frac{dt}{\gamma} \tag{4} \end{align}$$

Y esta es la base de la dilatación del tiempo. Si queremos encontrar el tiempo$t'$correspondiente a un tiempo$t$entonces simplemente integramos la ecuación (4), y debido a que$\gamma$es una constante que se integra a:

$$t' = \int_0^t \frac{dt}{\gamma} = \frac{t}{\gamma}$$

que es la ecuación que todos conocemos y amamos.

Esto puede parecer una forma larga de derivar el resultado, pero tenga en cuenta que este método es aplicable a situaciones en las que la velocidad no es constante. En ese caso, la relación entre$dx$y$dt$no es lineal, y la integral será más difícil, sin embargo, el funcionamiento es exactamente el mismo.

En lugar de repetir las ecuaciones a las que ya se ha hecho referencia, primero quería cubrir el experimento de Michelson-Morley . Michelson, Morley e incluso Lorentz pudieron hacer una cantidad considerable de trabajo en la predicción de la existencia esperada del viento de éter . Los cimientos de las ecuaciones subyacentes eran fuertes en este punto.

El impacto del descubrimiento de que no había viento de éter fue realmente enorme. Sin embargo, la maquinaria para explicar la situación, la hipótesis de la contracción de la longitud de Fitzgerald-Lorentz , explicó rápidamente lo que estaba sucediendo, sin embargo, sin una teoría como la de la relatividad, realmente no había fundamento para entender por qué esto era así.

Desde un punto de vista matemático puro, el truco consiste en cambiar de ángulos circulares a ángulos hiperbólicos con el entendimiento de que la contracción de Lorentz se entiende en términos de funciones hiperbólicas .

Las relaciones hiperbólicas son comunes en física y ocurren en varios lugares, desde la relatividad hasta la incertidumbre de Heisenberg.

Para las matemáticas, me referiría a los enlaces y publicaciones anteriores, pero espero que esto ayude un poco a tu intuición sobre esto.

Diría que la intuición es la simple observación (por Einstein, Lorentz, Poincare y otros) de estas 2 cosas:

1. Velocidad de la luz ($c$) es$c$-constante a través de fotogramas interiores (resultado extrapolado de las ecuaciones de Maxwell-Lorentz )

2. La velocidad de la luz ($c$) es un límite superior en cualquier otra velocidad que un cuerpo material o señal puede alcanzar (en efecto$c$asume un papel similar al infinito en matemáticas)

Estos dos derivan la fórmula de suma de velocidad relativista y las transformaciones de Lorentz que reemplazan las transformaciones de Galileo.

Entonces uno, basado en las transformaciones de Lorentz, puede definir un espacio-tiempo de Minkowski que geométricamente se caracteriza por tener el intervalo infinitesimal:

$$ds^2 = -(cdt)^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

un invariante de la geometría.