¿Existe alguna conexión entre el teorema de Virial y un principio de acción mínima?

Como dice ese hermoso artículo vinculado por dfan, el teorema virial proviene de variar la acción$S[x]$por$x\rightarrow(1+\epsilon)x$

Esta es una variación de la acción y por lo tanto debe desaparecer hasta algunos términos de frontera si$x$es una solución de las ecuaciones del movimiento. Pero la ecuación$\delta S=0$es solo el teorema del virial :

donde los paréntesis angulares significan promedio de tiempo.

El único problema pendiente es el descuido de los términos de contorno. Esto impone la condición del teorema del virial de que el movimiento sea acotado y que tome un promedio de tiempo lo suficientemente largo. Si ambas condiciones son verdaderas, entonces puedo tomar$T\rightarrow \infty$. Dado que todo está acotado, los términos de la frontera siguen siendo finitos como$T\rightarrow \infty$y por lo tanto hay contribución a$\frac{\delta s}{T}$va a cero. Dejándonos con el teorema del virial.

1. Hay una interesante contraparte hamiltoniana de la agradable respuesta lagrangiana de BebopButUnsteady: una transformación canónica infinitesimal (CT)

   $$\begin{align} \delta q~=~&\varepsilon q, \cr \delta p~=~&-\varepsilon p,\end{align}\tag{1}$$ [con generador tipo 2 $F_2 = (1+\varepsilon)q\cdot P$] de la acción hamiltoniana $$\begin{align} S_H~=~&\int\! dt~ L_H,\cr L_H~=~&p\cdot \dot{q}-H,\end{align} \tag{2}$$ conduce al teorema del virial hamiltoniano para promedios temporales largos:

   $$\langle q\cdot \frac{\partial H}{\partial q}\rangle~=~\langle p\cdot \frac{\partial H}{\partial p}\rangle,\tag{3}$$

   bajo el supuesto habitual de movimiento acotado.

2. El teorema virial (3) en la mecánica hamiltoniana tiene la misma forma que el teorema virial correspondiente en la mecánica estadística clásica, con el entendimiento de que los promedios temporales largos$\langle\cdot \rangle$se reemplazan con promedios estadísticos$\langle\cdot \rangle$. Este último se deriva del teorema de equipartición (generalizado)

   $$\langle F(z)\frac{\partial H(z)}{\partial z}\rangle ~=~k_BT \langle \frac{\partial F(z)}{\partial z}\rangle, \tag{4}$$ cf. una respuesta (actualmente eliminada) de Nikolaj-K.

3. El teorema de equipartición (generalizado) (4) en la mecánica estadística clásica, a su vez, es un análogo de las ecuaciones de Schwinger-Dyson (SD)

   $$\langle F[\phi]\frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi}\rangle~=~i\hbar\langle \frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi} \rangle\tag{5}$$ en QFT.

Abordaré esta pregunta de la siguiente manera:

Primero discutiré la acción estacionaria de Hamilton, mostrando que si bien puede parecer que la acción estacionaria de Hamilton involucra energías promedio a lo largo del tiempo, ese no es realmente el caso. Discutiré cómo reconocer que la acción estacionaria de Hamilton realmente no se trata de promediar.

Después de discutir la acción estacionaria de Hamilton, discutiré el teorema virial, haciendo uso de una discusión del teorema virial de John Baez .

John Baez muestra que el núcleo del teorema del virial ya se manifiesta en el caso de un sistema ligado que consta de dos objetos, el primario mucho más pesado que el secundario que el movimiento del primario es despreciable. Es decir: para entender los intercambios de energía cinética/potencial es suficiente considerar sólo el movimiento de un solo objeto: el secundario. A partir de ahí, puede avanzar a través de etapas de generalización. Es decir: la forma del teorema virial con un promedio de múltiples estados de movimiento debe entenderse como una generalización , a partir de una propiedad central.

La acción estacionaria de Hamilton
la cuestión de promediar energías a lo largo del tiempo.

Discusión preliminar:
Como sabemos, hay circunstancias en las que se puede usar la integración para obtener un valor que podemos usar como representación de un promedio . Por ejemplo, potencia de salida de corriente alterna. Podemos calcular la integral de la función seno con respecto al tiempo y luego dividir ese valor por el tiempo total para obtener un valor para la potencia promedio.

La definición de la acción de Hamilton:

podemos escribir eso como dos integrales:

Y la pregunta entonces es: la siguiente expresión, que divide la integral con respecto al tiempo por el tiempo total, es una expresión significativa:

La siguiente discusión tiene la implicación lógica de que (1.3) no es una expresión significativa.

Los siguientes dos gifs animados tratan sobre el seguimiento del cambio de energía a medida que un objeto se mueve a lo largo de una trayectoria.

(Estos dos gifs animados se componen de capturas de pantalla de un diagrama interactivo. Se cargaron para una respuesta que publiqué en octubre de 2021, para una pregunta titulada ' motivación para el formalismo lagrangiano ')

Comparación de cálculo diferencial y cálculo de variaciones:
en cálculo diferencial, la unidad de operación es un par de puntos, la línea que pasa por esos dos puntos es tangente a la curva que busca resolver.

En cálculo de variaciones la unidad de operación es un triplete de puntos.

Diagrama 1

En el diagrama 1 la línea intermitente es una parábola. Esta parábola representa la altura en función del tiempo de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba. Una fuerza uniforme actúa en dirección hacia abajo. Para obtener la parábola más simple posible, el valor de la aceleración (uniforme) se establece en 2$m/s^2$

Los puntos exteriores ($t_1$y$t_3$) se tratan como fijos; la variación se ejecuta variando la coordenada de posición del punto medio.

En el diagrama se evalúan dos intervalos de tiempo adyacentes;$t_{1,2}$y$t_{2,3}$

El punto óptimo es el punto en el que el cambio de velocidad es tal que la diferencia de energía cinética coincide con la diferencia de energía potencial.

(En este diagrama se usa una aceleración uniforme, lo que significa que en este diagrama el potencial aumenta linealmente con la altura, por lo tanto$\Delta E_p$es en este diagrama constante. En el caso general, la fuerza cambia en función de la coordenada de posición. Entonces el potencial no es lineal, y el valor de$\Delta E_p$cambia en función de la coordenada de posición.)

Diagrama 2 - válido hasta intervalos infinitesimalmente pequeños

El diagrama 2 ilustra que la lógica de esta unidad de operación es válida en cualquier escala, hasta la escala de intervalos de tiempo infinitesimalmente pequeños.

Crucialmente:
también es el caso de que la acción estacionaria de Hamilton en sí misma se obtiene a escala infinitesimal . Esto se puede reconocer de varias maneras.

Digamos que hemos usado acción estacionaria para resolver la trayectoria verdadera entre los puntos A y D. Luego podemos tomar cualquier punto B y C que esté en la curva que representa la trayectoria verdadera (en ese orden a lo largo de la trayectoria: A, B, C, D), trate los puntos B y C como puntos finales fijos y use la acción estacionaria para encontrar la verdadera trayectoria del movimiento de B a C.

Si la acción es estacionaria a lo largo de la trayectoria de A a D, entonces la acción también es estacionaria a lo largo de la subsección B a C. Podemos colocar la subsección B-a-C en cualquier lugar a lo largo de la trayectoria, y podemos hacer que la distancia B-a-C sea arbitrariamente pequeña: el razonamiento sigue siendo el mismo. El razonamiento es válido a cualquier escala, hasta una escala infinitesimalmente pequeña.

Referencia:
El hecho de que la acción estacionaria de Hamilton se obtiene a una escala infinitesimalmente pequeña se analiza en el siguiente artículo publicado en 2004:
" Derivación de las ecuaciones de Lagrange usando cálculo elemental ", Jozef Hanc, Edwin F. Taylor y Slavomir Tuleja. Revista americana de física, vol. 72, No. 4, abril de 2004, páginas 510-513.

Sin embargo, dado que la propiedad estacionaria se obtiene a escala infinitesimal, se declara que la integración es redundante .

El hecho de que la integración no esté haciendo nada también se puede ver de la siguiente manera:
La ecuación de Euler-Lagrange es una ecuación diferencial . La naturaleza misma de una ecuación diferencial es que su operación se define en términos de tomar el límite de operar a una escala infinitesimalmente pequeña .

Acerca de la derivación de la ecuación de Euler-Lagrange:
El proceso de derivación de la ecuación de Euler-Lagrange tiene que lograr varias cosas, y entre esas cosas está eliminar la integración . No es que la integración estuviera haciendo algo útil temporalmente y se eliminó solo después de haber hecho su trabajo. No hay tal cosa: la integral fue redundante en cada paso del camino.

Al principio planteé la pregunta: ¿tiene sentido esta expresión?

(1.3) no tiene sentido porque la integración nunca hace nada.

Para más información: repito el enlace a la respuesta de octubre de 2021 sobre la acción estacionaria de Hamilton

El teorema del virial

Como sabemos, existen dos leyes de fuerza con la propiedad de que en el caso de un movimiento de circunnavegación en dos dimensiones espaciales dan lugar a órbitas periódicas: la ley de Hooke y la ley del inverso del cuadrado.

ley de Hooke

Un ejemplo de movimiento de circunnavegación sujeto a la ley de Hooke es una configuración que se llama 'telescopio de espejo líquido'. Si un cuenco lleno de Mercurio está girando, la superficie asume una forma con una sección transversal parabólica (paraboloide de revolución).

Cuando la superficie del líquido ha alcanzado una forma de paraboloide, la masa del fluido ha alcanzado un estado que se conoce como " rotación de cuerpo sólido ".

El estado dinámico de rotación de un cuerpo sólido tiene la siguiente propiedad: a medida que se mueve desde cerca del eje de rotación hacia más lejos, la energía cinética de circunnavegación y la energía potencial aumentan cuadráticamente en función de la distancia al eje de rotación. La energía cinética aumenta cuadráticamente porque la circunferencia aumenta linealmente con la distancia al eje de rotación, y la energía potencial aumenta cuadráticamente porque con una sección transversal parabólica la altura aumenta cuadráticamente con la distancia al eje de rotación.

De hecho, en cada distancia al eje de rotación, la energía cinética y potencial están en una proporción de 1:1.

A continuación, examinamos si esa relación de 1:1 se generaliza más allá del movimiento circular.

Del teorema Trabajo-Energía se deduce que en el proceso de intercambio de energía cinética y potencial, las tasas de cambio deben coincidir entre sí. Entonces: en el caso de movimiento no circular (sujeto a la ley de Hooke): mientras que en cualquier instante la relación entre la energía cinética y la potencial no será 1:1, si promedias la energía cinética y la energía potencial, entonces verás la relación 1:1, en cada distancia al eje de rotación.

Ley del cuadrado inverso

La mecánica del movimiento orbital sujeto a una ley del inverso del cuadrado es contraria a la intuición en varios aspectos.

Si está en órbita y utiliza propulsores retroactivos para bajar su órbita, entonces, a esa altitud más baja, la gravedad es mucho más fuerte que se necesita una velocidad más rápida para mantener la órbita. No solo una velocidad angular más rápida: una velocidad general más rápida.

Digamos que estás en órbita y quieres adelantar a otra nave espacial en órbita delante de ti. La forma de lograrlo es disparar propulsores retroactivos para que desciendas a una órbita más baja. Durante ese descenso, la energía potencial gravitacional se convierte en energía cinética. Ahora eres más rápido que la nave que tienes delante y estás acortando la distancia.

Por el contrario, si disparas propulsores que aumentan tu velocidad, el efecto es elevar la altitud de tu nave espacial. El proceso de escalar a mayor altitud convierte la energía cinética en energía potencial gravitacional. En la altitud de destino, su velocidad es más lenta que en la altitud inicial.

A continuación:
Derivación del teorema virial para el caso de un solo objeto en movimiento alrededor de un primario mucho más pesado.

Energía potencial gravitacional en función de la distancia$R$al centro de masa del primario

Magnitud de la fuerza gravitatoria:

magnitud de la fuerza centrípeta requerida:

Combinando (2.2) y (2.3):

(2.4) se puede reorganizar en una ecuación que tiene la expresión de la energía cinética en el lado izquierdo. Multiplica ambos lados con$R$, divide ambos lados entre 2.

(2.5) es la ecuación que es informativa. (2.5) expresa una relación entre la velocidad orbital y la distancia al centro de atracción.

(2.5) también se puede expresar de la siguiente forma, pero (2.5) es la forma que realmente se usa en los cálculos, porque (2.5) establece explícitamente la velocidad y la distancia al centro, mientras que están implícitas en (2.6).

(El signo menos está ahí porque a medida que asciende de una altitud a una altitud mayor, aumenta su energía potencial gravitacional y disminuye su energía cinética).

Volviendo a (2.5)

Mientras que en el caso de la rotación de un cuerpo sólido, la energía cinética y la energía potencial están en una proporción de 1:1 en cada distancia al centro de atracción, en el caso de la ley de fuerza del cuadrado inverso, la relación entre la energía cinética y la energía potencial cambia en función de distancia al centro de atracción.

Ley del cuadrado inverso:
energía cinética: cuanto más baja es la órbita, mayor es la energía cinética energía
potencial: cuanto más alta es la órbita, mayor es la energía potencial

Los astrónomos usan el teorema virial de la siguiente manera: Los astrónomos obtienen perfiles de distribución de velocidad de las estrellas de una galaxia. A partir del perfil de velocidad en función de la distancia al centro de atracción se puede inferir el potencial. Si una galaxia como un todo tiene un perfil de velocidad tal que, en promedio, el movimiento de las estrellas es similar a la rotación de un cuerpo sólido, entonces la distribución de la masa gravitatoria debe ser tal que la energía potencial galáctica esté de acuerdo con la ley de Hooke.

Cualquiera que sea el perfil de velocidad, el potencial en función de la distancia al centro de atracción se puede inferir de él.

Como se mencionó anteriormente, tenemos que la ley de Hooke y la ley del inverso del cuadrado son las únicas dos leyes de fuerza con la propiedad de que dan lugar a un movimiento orbital que vuelve sobre sí mismo. La primera etapa de la generalización de (2.5) consiste en generalizar desde una órbita circular hasta promedios de energías de movimiento a lo largo de órbitas excéntricas.
Una generalización adicional es a un continuo de leyes de fuerza, donde la ley de fuerza puede ser cualquier función polinomial de la distancia al centro de atracción (incluidas las potencias fraccionarias).

En ese caso más general, el movimiento alrededor del centro de atracción no vuelve sobre sí mismo, pero los promedios de la energía cinética y la energía potencial, respectivamente, seguirán estando en una proporción que cambia en función de la distancia al centro de atracción . Así es como los astrónomos usan el teorema del virial.

Con lo anterior en su lugar: ¿existe una conexión entre la acción estacionaria de Hamilton y el teorema virial?

Bueno, ambos son parte del cuerpo de conocimiento de la mecánica clásica, y ambos se expresan en términos de energía cinética y energía potencial, pero aparte de eso, no hay conexión.