Principio de acción mínima: extrañeza de simulación numérica

Question

Principio de acción mínima: extrañeza de simulación numérica

acción
Física
simulaciones
formalismo lagrangiano
física computacional
principio variacional

Ruslán

Estoy tratando de obtener algo de experiencia con el principio de acción mínima, y para esto elegí un problema unidimensional simple de una partícula que se mueve en algún campo. El principio de mínima acción se vería así:

\int_{t_{1}}^{t_{2}} (T (v) - tu (X)) d t = min

$\int_{t_1}^{t_2}(T(v)-U(x))dt=\min$

Así que discretizo el tiempo en algunos puntos y trato de minimizar la suma:

\sum_{i = 1}^{norte} (T (v_{i}) - tu (X_{i})) Δ t .

$\sum_{i=1}^n (T(v_i)-U(x_i))\Delta t.$

Pero obtengo algunos resultados extraños: primero, si no restrinjo el sistema, la suma parece ilimitada desde abajo. Bueno, es comprensible porque puede haber múltiples soluciones correspondientes a diferentes condiciones iniciales/límites. OK, elijo algunos valores para $x_1$ y $x_n$ como restricciones. Pero incluso la suma parece ilimitada. Bueno, entonces elijo reducir el rango posible de $x_i$ , y la suma finalmente se puede minimizar...

Pero el resultado parece una completa tontería. Aquí está el resultado de $n=10$ , $t_1=0$ , $t_2=1$ , $|x_i|<5$ :

Posiciones

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velocidades

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Aquí las velocidades no parecen reflejar cambios en las posiciones.

¿Que me estoy perdiendo aqui? ¿Debo agregar algunas otras restricciones, o he cometido algún error simple?

adip

Presumiblemente T(v) es la cuadrática usual

\frac{1}{2} m v^{2}

$\frac{1}{2}mv^2$ , pero ¿qué estás usando para U(x)? Además, tal vez esté tratando de variar de forma independiente

v_{i}, x_{i}

$v_i,x_i$ sin la restricción

v = \frac{d x}{d t}

$v = \frac{dx}{dt}$ ?

Ruslán

@adipy He intentado configurar

U = 0

$U=0$ primero, luego reconocer que no restringe

x_{i}

$x_i$ en absoluto, intentado

U = 1

$U=1$ ,

U = x^{2}

$U=x^2$ , ..., pero los resultados son básicamente los mismos. Y de hecho, no puse una restricción como

v = \frac{d x}{d t}

$v=\frac{dx}{dt}$ , ya que nunca vi ninguna discusión sobre tal restricción en los libros (a saber, Landau & Lifshitz "Mechanics"). supuse

x

$x$ y

v

$v$ debe variar independientemente.

qmecanico

No,

x

$x$ y

v

$v$ son dependientes en la acción. Para obtener más detalles, consulte physics.stackexchange.com/q/885/2451

Ruslán

Hmm, gracias @Qmechanic, parece que mi pregunta es un duplicado de esa entonces.

Respuestas (1)

Principio de acción mínima: extrañeza de simulación numérica

Presumiblemente T(v) es la cuadrática usual $\frac{1}{2}mv^2$ , pero ¿qué estás usando para U(x)? Además, tal vez esté tratando de variar de forma independiente $v_i,x_i$ sin la restricción $v = \frac{dx}{dt}$ ?
@adipy He intentado configurar $U=0$ primero, luego reconocer que no restringe $x_i$ en absoluto, intentado $U=1$ , $U=x^2$ , ..., pero los resultados son básicamente los mismos. Y de hecho, no puse una restricción como $v=\frac{dx}{dt}$ , ya que nunca vi ninguna discusión sobre tal restricción en los libros (a saber, Landau & Lifshitz "Mechanics"). supuse $x$ y $v$ debe variar independientemente.
No, $x$ y $v$ son dependientes en la acción. Para obtener más detalles, consulte physics.stackexchange.com/q/885/2451
Hmm, gracias @Qmechanic, parece que mi pregunta es un duplicado de esa entonces.

Ruslán · Answer 1

Como se dijo en esta respuesta , la velocidad y la posición no varían de forma independiente. De hecho, al derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange, usamos explícitamente el hecho de que $\delta v=\frac d{dt}\delta x$ .

Entonces, cuando agrego la restricción $v_i=\frac{x_{i+1}-x_i}{\Delta t}$ , especificando $x_1$ y $x_n$ queda lo único adicional para converger a la solución. Por ejemplo, establecer $U=x^4-4x^3+4.5x^2$ , $x_1=0$ , $x_n=2.651$ y $n=51$ , Yo obtengo:

Posiciones:

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Velocidades:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Aquí el último punto de velocidad es incorrecto, pero es un artefacto de la restricción: he usado una derivada de diferencia finita de la mano derecha, que no se puede hacer para $v_n$ . Esto se puede solucionar eligiendo algún otro esquema de diferencia, pero a los efectos de esta respuesta es un detalle de implementación sin importancia.

Lo que es más importante, es que si elegimos $x_n>2.651$ en este ejemplo, la acción parece ilimitada desde abajo incluso con las restricciones correctas. Creo que esto ya no es un problema en la implementación, sino más bien el resultado del hecho de que la acción solo tiene que ser estacionaria, pero no mínima, por lo que la minimización no es un procedimiento lo suficientemente bueno para obtener una trayectoria real.

Principio de acción mínima: extrañeza de simulación numérica

Ruslán

adip

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qmecanico

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Ruslán

Universalidad del principio de mínima acción, ¿por qué funciona? [duplicar]

Derivación de la Acción Polyakov

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