¿Por qué el trabajo realizado por un motor de cohete es mayor a velocidades más altas? [duplicar]

El punto clave de esta pregunta es que intuitivamente parece que la conservación de la energía no funciona bien. Un cohete es impulsado por una reacción química que libera energía química a una velocidad constante. Entonces, ¿cómo puede una tasa constante de liberación de energía conducir a un mayor aumento en KE cuando se va rápido?

Para entender esto, es útil considerar un cohete “modelo de juguete” que opera con los mismos principios, pero es más fácil de analizar. Específicamente, consideremos una bola de 10 kg (cohete) y una bola de 1 kg (escape) que está unida a un resorte sin masa (combustible).

Suponga que este resorte tiene suficiente energía almacenada que cuando el cohete está inicialmente en reposo puede impulsarlo a 1 m/s, y por conservación de la cantidad de movimiento, el escape se impulsa a -10 m/s. Por el contrario, si el cohete comienza a 5 m/s, luego de “quemar” el combustible, el cohete se impulsa a 6 m/s y el escape se mueve a -5 m/s.

Así que ahora vamos a comprobar la energía. En el primer caso, la KE del cohete aumentó de 0 J a 5 J, mientras que en el segundo caso aumentó de 125 J a 180 J. El resorte almacena la misma cantidad de energía en ambos casos, entonces, ¿por qué la KE aumenta en 5 J a baja velocidad y 55 J a alta velocidad?

Note que nos olvidamos de calcular la energía que entró en el escape. Este es el error central de la mayoría de estos análisis. En el primer caso la KE del escape aumentó de 0 J a 50 J, mientras que en el segundo caso la KE fue de 12,5 J antes y después. Entonces, en ambos casos, el cambio total en KE (tanto el cohete como el escape) fue de 55 J.

A velocidades bajas, la mayor parte de la energía del combustible se “desperdicia” en la KE del escape. A velocidades más altas, más entra en el cohete y menos en el escape. Para un cohete real, lo mismo sucede de manera continua. Tanto la energía como el impulso se conservan y, de hecho, se entrega más potencia al vehículo a medida que aumenta la velocidad con un empuje constante.

Hay varias formas de ver esto.

Lo más fácil, creo, es que la energía cinética se escala con el cuadrado de la velocidad.

$$K=\frac 12 m v^2$$

Si suponemos que el propulsor del cohete proporciona una aceleración constante, comparando las velocidades inicial y final encontramos que

$$\Delta v=v_\text{final}-v_\text{init}=at$$

Entonces, durante la misma cantidad de tiempo, el cambio en la velocidad es el mismo, independientemente de cuál sea realmente la velocidad inicial. Como tenemos una dependencia al cuadrado de la velocidad en$K$, esto quiere decir que la energía cinética aumenta más si empezamos con una velocidad mayor. es decir

$$\Delta K=\frac 12 m v_\text{final}^2-\frac 12 m v_\text{init}^2=\frac 12 m (v_\text{final}-v_\text{init})(v_\text{final}+v_\text{init})=\frac 12 m\, \Delta v (\Delta v+2v_\text{init})$$

Como podemos ver, la suma de las velocidades en la expresión para$\Delta K$es lo que contribuye a un mayor cambio en la energía cinética. Dado que el trabajo realizado es igual al cambio de energía cinética, debe ser que el cohete realiza más trabajo cuando partimos a mayor velocidad.

La segunda forma de ver esto, que podría argumentar que es la misma que la primera, es mirar la definición de trabajo

$$W=\int\vec F \cdot \mathrm d\vec x$$

O en una dimensión con una fuerza constante

$$W=F\,\Delta x$$

Ahora, una vez más suponiendo una aceleración constante, sabemos que

$$\Delta x = \frac 12 a t^2 + v_\text{init}t$$

Para que el trabajo realizado sea

$$W=F\left(\frac 12 a t^2 + v_\text{init}t\right)$$

Una vez más, vemos que la velocidad inicial determina el trabajo. Una explicación cualitativa de esto es que cuando la velocidad es mayor, el objeto cubre más distancia en la misma cantidad de tiempo. Entonces, si observamos el momento en que se aplica la fuerza, cuanto más rápido se mueve, mayor es la distancia sobre la que se aplica la fuerza. Por lo tanto, hacemos más trabajo si el objeto se mueve inicialmente más rápido.

El supuesto problema detrás de todo esto es que parece que estamos obteniendo más energía al aplicar la misma fuerza durante la misma cantidad de tiempo. Pero si lo resuelve, encontrará que esto no es un problema en absoluto. Esto es cierto incluso para los objetos que caen cerca de la superficie de la Tierra. Aunque la fuerza es constante, la gravedad hace más y más trabajo sobre el objeto mientras cae. O, en otras palabras, la tasa de conversión de energía de potencial a energía cinética aumenta a medida que cae el objeto.

En ambos casos (estacionario y en vuelo rápido), el cambio en la energía cinética total del sistema cohete+propulsor es el mismo, igual a la energía química liberada durante un encendido de un segundo. Si el cohete estaba parado, el propulsor pasa del reposo a moverse hacia atrás, aumentando su energía cinética. Si el cohete volaba (muy) rápido, el propulsor pasa de avanzar rápido (con el cohete) a avanzar más lento (rezagado), disminuyendo su energía cinética. Esto es suficiente para comprender cualitativamente por qué la energía cinética del cohete aumenta más en el segundo caso.

Los dos casos están relacionados por una transformación de Galileo (elección de marco de referencia de movimiento uniforme). La consistencia está asegurada por el hecho de que, para cualquier sistema aislado (como el cohete+propulsor), el cambio en la energía cinética total entre un momento y otro es invariante de Galileo (lo mismo en cualquier sistema de referencia en movimiento uniforme).