Fórmula para el factor de simetría

Question

Fórmula para el factor de simetría

hombre de la lluvia

En $\phi^3$ teoría, ¿existe alguna fórmula para determinar el factor de simetría tal como se encuentra para el $\phi^4$ teoría en cualquier libro estándar de Teoría Cuántica de Campos?

Jorge Lavín

Puede encontrar interesantes los siguientes enlaces: arxiv.org/abs/hep-th/0108088 , mathoverflow.net/q/26897

al-Hwarizmi

¿Podría dar un ejemplo de un Lagrangiano? ¿Y un potencial relacionado?

hombre de la lluvia

L = - \frac{1}{2} Z_{ϕ} \partial^{m} ϕ \partial_{m} ϕ - \frac{1}{2} Z_{metro} {metro}^{2} ϕ^{2} + \frac{1}{6} Z_{gramo} gramo ϕ^{3} + Y ϕ

$\mathcal{L} = -\frac{1}{2} Z_\phi \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -\frac{1}{2} Z_m m^2 \phi^2 + \frac{1}{6} Z_g g \phi^3 + Y\phi$ Srednicki ecuación. (9.1)

Motl de Luboš

Cualquier libro de texto de QFT explica cómo escribir los factores de simetría para cualquier campo, vértices de interacción y diagramas.

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Fórmula para el factor de simetría

Puede encontrar interesantes los siguientes enlaces: arxiv.org/abs/hep-th/0108088 , mathoverflow.net/q/26897
¿Podría dar un ejemplo de un Lagrangiano? ¿Y un potencial relacionado?
$L = - \frac{1}{2} Z_{ϕ} \partial^{m} ϕ \partial_{m} ϕ - \frac{1}{2} Z_{metro} {metro}^{2} ϕ^{2} + \frac{1}{6} Z_{gramo} gramo ϕ^{3} + Y ϕ$ $\mathcal{L} = -\frac{1}{2} Z_\phi \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -\frac{1}{2} Z_m m^2 \phi^2 + \frac{1}{6} Z_g g \phi^3 + Y\phi$ Srednicki ecuación. (9.1)
Cualquier libro de texto de QFT explica cómo escribir los factores de simetría para cualquier campo, vértices de interacción y diagramas.

jamals · Answer 1

Peskin y Schroeder brindan una explicación suficientemente detallada sobre el cálculo de los factores de simetría para los diagramas de Feynman. El artículo de Palmer et al. presentar una fórmula general,

S = \frac{1}{R} {(\frac{1}{2})}^{D_{1}} {(\frac{1}{2!})}^{D_{2}} {(\frac{1}{3!})}^{D_{3}} {(\frac{1}{4!})}^{D_{4}}

$S=\frac{1}{R}\left( \frac{1}{2}\right)^{D_1}\left( \frac{1}{2!}\right)^{D_2}\left( \frac{1}{3!}\right)^{D_3}\left( \frac{1}{4!}\right)^{D_4}$

donde las constantes se definen en su papel, que requieren una comprensión de la derivación y su notación. La expresión es aplicable a QED, QCD y $\phi^{3,4}$ teoría pero generalizable a otros. Para un diagrama como (considerado en su artículo como figura 1),

ingrese la descripción de la imagen aquí

Para este caso, $D_1=D_3=D_4=0$ , $R=1$ y $D_2$ = 1 que producen, $S=1/2$ como se esperaba. En el artículo de Dong para teorías de campos escalares reales y complejos, presenta la fórmula general,

S = gramo 2^{β} 2^{d} \prod_{norte} {(norte!)}^{α_{norte}}

$S=g2^\beta 2^d \prod_n \left( n!\right)^{\alpha_n}$

donde (citando del artículo): $g$ es el número de intercambios de vértices que dejan el diagrama topológicamente sin cambios, $\beta$ es el número de líneas que conectan un vértice a sí mismo, $d$ es el número de burbujas dobles, y $\alpha_n$ es el número de pares de vértices conectados por $n$ líneas idénticas.

Esto es extremadamente confuso ya que la primera fórmula produce un inverso de un número entero, mientras que la segunda produce un número entero. Claramente $S^{-1}$ se entiende en uno de ellos. En segundo lugar, tener en cuenta los vértices externos es la parte más complicada y no se enfatiza en ninguna de las descripciones. parecería que $g$ para este diagrama es $2$ ya que puedes permutar $b,c$ sin cambiar la topología. Sin embargo, la "topología" incluye las etiquetas $Y,Z$ , por lo que este intercambio de hecho no está permitido, por lo que la única contribución es de $\alpha_2=1.$
En este sentido, la definición de Palmer está mucho más cuidadosamente redactada: " $R$ es el número de formas de permutar los índices internos [vértices] y producir un conjunto idéntico de propagadores". Esta descripción deja en claro que el intercambio $b$ y $c$ no es una simetría válida.

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