¿Se podría ver Neptuno a simple vista desde Urano?

Según https://arxiv.org/pdf/1808.01973.pdf , la magnitud de Neptuno sigue la relación (fórmula 17, página 25):

$V = 5 \log_{10} (rd) - 7.00 + 7.944 \times 10^{-3} α + 9.617 \times 10^{-5} α^2$

Donde r es la distancia de Neptuno al Sol, d es la distancia de Neptuno al observador y α es “el arco entre el Sol y el sensor con su vértice en el planetocentro”. (En otras palabras, el ángulo entre el Sol y el observador visto desde Neptuno).

La distancia media de Urano al Sol es de 19,1 au y la de Neptuno es de 30,07 au. Despreciemos las excentricidades y las inclinaciones orbitales, y obtendremos una distancia mínima de alrededor de 10 au. Supongamos que estamos directamente en línea con el Sol y Neptuno, por lo que el ángulo α es 0 (cero).

entonces obtenemos

$\begin{align} V &= 5 \log_{10} (30 \times 10) - 7 \\ & = 5 \log_{10} (300) - 7 \\ & = 5 \times 2.47712… - 7 \\ & = 12.3856… - 7 \\ & = 5.3856… \end{align}$

En otras palabras, esto es apenas más brillante que las estrellas más débiles que se pueden ver a simple vista desde la Tierra en una noche oscura sin luna, lejos de las luces de la ciudad.

Pero, de nuevo, esto es despreciar las excentricidades y las inclinaciones orbitales, por lo que, en realidad, Neptuno sería más débil incluso en las mejores circunstancias.

Respuesta complementaria que respalda a @PierrePaquette respuesta completa y de buena fuente :

Probé la nueva y agradable interfaz JPL Horizons y encendí Excel, que no he usado en mucho tiempo.

Para los años 1800 a 2100 en el modo de Observador, calcula la magnitud aparente usando todas las campanas y silbatos (modelo de albedo, ángulo de fase, iluminación, etc.) y da los siguientes resultados.

Visto desde Urano, se predice que la magnitud aparente de Neptuno aumentará a +5,5 en oposición a una distancia de aproximadamente 10,5 AU.

Parece que hay un pequeño problema técnico en el año 2000 (informándolo ahora) y, como señala @PierrePaquette, dado que las órbitas no son circulares, si nos adentramos mucho en el futuro o en el pasado, probablemente podamos encontrar oposiciones a distancias ligeramente más cercanas (tan bajas como como 9.7 AU) que podría llevarte a +5.3

El brillo de un objeto del Sistema Solar, visto en luz reflejada, depende de qué tan lejos esté del Sol,$d_s$, y qué tan lejos está del observador,$d_o$, (y los ángulos entre ellos). Ambas dependencias son "leyes del cuadrado inverso":

Tanto Urano como Neptuno tienen un tamaño y un albedo similares, por lo que tendrían un brillo similar cuando se los viera desde la misma distancia si también estuvieran a la misma distancia del Sol.

Por ejemplo, si escalamos el brillo de una situación hipotética (e imposible) en la que ambos se ven en oposición desde 1 au y estaban a 1 au del Sol, ambos tendrían una magnitud aparente de aproximadamente$-7$(según el artículo de Wikipedia sobre magnitud absoluta).

Suponiendo que Urano está a 18,3 au del Sol y a 17,3 au de la Tierra, entonces el brillo máximo de Urano visto desde la Tierra es, por lo tanto, más débil que el de aproximadamente$-2.5\log_{10}[(1/18.3)^2(1/17.3)^2] = 5\log_{10}[(18.3)(17.3)]=+12.5$revista.

Si Neptuno, a 30 au del Sol y a unas 11 au de Urano, fuera visto desde Urano en oposición, sería más débil aproximadamente$-2.5\log_{10}[(1/30)^2(1/11)^2]= 5\log_{10}[(30)(11)]=+12.6$revista.

es decir, en su punto más favorable, el brillo de Neptuno visto desde Urano es casi el mismo que el de Urano visto desde la Tierra.

Si lo he calculado bien, entonces la magnitud aparente de Neptuno visto desde Urano es de aproximadamente 4.

1. Las magnitudes absolutas de Neptuno (-7,11) y Urano (-7,00) son casi idénticas.
2. La magnitud aparente de Urano es 5,38.
3. La distancia entre Neptuno y Urano es aproximadamente la mitad de la distancia entre la Tierra y Urano.
4. A la mitad de la distancia, un cuerpo celeste se vuelve cuatro veces más brillante , lo que se convierte en una diferencia de solo 1,59 en la escala de magnitud aparente logarítmica. (4/2,51=1,59)
5. 1,59 se deduce de 5,38 y es igual a 3,79.
6. Se suma la diferencia en magnitud absoluta de 0,04 (0,11/3), lo que cambia la cifra a 3,83.
7. También; el ajuste de la discrepancia de distancia menor eleva la magnitud aparente de Neptuno visto desde Urano hasta una cifra de aproximadamente 4.

Una magnitud aparente de 4 es, según Wikipedia , similar a las magnitudes aparentes de las "estrellas más débiles visibles en un vecindario urbano a simple vista".