¿Cuál es la magnitud aparente de Saturno en su punto más brillante cuando se ve desde Urano?

Aprovechando la excelente respuesta de Pierre Paquette y la referencia a Hilton y Mallama , la magnitud de Saturno se puede estimar mediante:

$$V = 5 \log_{10} (rd) - 8.95 - 3.7\times10^{-4} \alpha + 6.16\times10^{-4} \alpha^2$$

Aquí,$r\approx9.5$AU es la distancia de Saturno al Sol,$d$es la distancia de Saturno al observador, y$\alpha$es el ángulo del triángulo Sol/Saturno/Observador.

Si el observador está ubicado en un planeta con órbita dentro de la órbita de Saturno, debe quedar claro que el máximo brillo aparente de Saturno debe ocurrir cuando el observador está más cerca de Saturno, ya que ambos$d$y$\alpha$están como mínimo.

Sin embargo, si un observador está en un planeta con una órbita fuera de la órbita de Saturno, ciertamente no es el caso de que Saturno sea más brillante cuando esté más cerca, ya que estará retroiluminado por el Sol desde la perspectiva del observador.

Usando la Ley de los Cosenos , podemos calcular la distancia entre el observador y Saturno en función de$\alpha$:

$$d(\alpha) = r\cos{\alpha}\pm \sqrt{c^2-r^2\sin^2{\alpha}}$$

Aquí,$c \approx 19.2$AU es la distancia de Urano al Sol. Esto nos permite formular la expresión de magnitud solo como una función de$\alpha$.

$$V(\alpha) = 5 \log_{10} (r^2\cos{\alpha}\pm r\sqrt{c^2-r^2\sin^2{\alpha}}) - 8.95 - 3.7\times10^{-4} \alpha + 6.16\times10^{-4} \alpha^2$$

Introduciendo valores de 0 a 180 grados para alfa, obtenemos la siguiente curva de fase de magnitud:

Aquí el eje x es$\alpha$en grados, y el eje y es la magnitud aparente. Muestra que la máxima magnitud aparente de Saturno visto desde Urano está en oposición (quizás de manera poco intuitiva, ya que también es la distancia máxima entre las trayectorias orbitales de los dos planetas). El valor en la oposición es de unos 3,228. En comparación, Saturno es siempre mucho más brillante desde la Tierra, variando entre -0,55 y 1,17 .

Notas:

1. Por conveniencia, asumimos en esta respuesta que las órbitas son circulares y coplanares. Dado que ambos planetas tienen poca inclinación y excentricidad, no esperaríamos una curva de fase muy diferente de un modelo más sofisticado.

2. La respuesta anterior es solo para la magnitud aparente de la esfera de Saturno. Los anillos de Saturno pueden contribuir significativamente al brillo de todo el sistema. Hilton y Mallama proporcionan una ecuación más sofisticada que implica$\beta = \sqrt{\beta_1\beta_2}$, dónde$\beta_1$y$\beta_2$son las inclinaciones de los anillos de Saturno con respecto al Sol y al observador respectivamente. Se podría obtener una respuesta de mayor fidelidad usando esta ecuación, tal vez asumiendo que la iluminación máxima del anillo puede ocurrir simultáneamente en oposición con$\beta_1=\beta_2 \approx 26.7^\circ$

$$V = 5 \log_{10} (rd) - 8.914 - 1.825 \sin{\beta}+ 0.026 α - 0.378 \sin{\beta} e^{-2.25\alpha}$$